Question

数列不等式放缩技巧

Answer 1

技巧如下：

1.裂项放缩
在数列求和中，可以用裂项相消法去求和。当涉及到一些关于数列与不等式的证明题时，可以用裂项法来去进行求和，而后进行不等式大小的比较。
2.函数放缩
函数放缩就是通过构造函数的方式，利用函数的单调性来进行求解数列不等式的一种方法。
3.递推放缩
若已知an与f(n)或an与g(an)之间的大小关系,则可尝试通过逐层递推放缩,得到一个可求和的等比数列,必要时可对求和结果再一次放缩。

4.单调性放缩
对于一边是求和形式且从n开始的数列不等式,可先构造单调数列,利用单调性进行适当放缩,使不等式巧妙获证。
5.加强命题放缩
由于数列不等式与正整数有关,所以数学归纳法成为证明数列不等式的常用方法,但有些数列不等式直接用数学归纳法证明比较困难,此时可将所证不等式的一边放缩为一个可求和的等比数列,然后利用数学归纳法证明加强式。
6.局部放缩
对于许多一边是求和形式而另一边是常数的数列不等式,通常不必从第一项就开始放缩,而是将前面若干项保留为精确值,从某一项开始放缩,这样对求和形式那一边的上(下)限的估计会更精确一些。