级数收敛的必要条件
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级数收敛的必要条件如下:
1. 具有有界性:级数的每一项都是有界的,即存在一个常数M,使得对于所有的n,有|a_n| ≤ M。
2. 满足正项级数条件:级数的每一项都是非负的,即对于所有的n,有a_n ≥ 0。
3. 具有单调性:级数的每一项的绝对值是单调递减的,即对于所有的n,有|a_n+1| ≤ |a_n|。
4. 满足柯西收敛准则:对于任意给定的正数ε,存在一个正整数N,使得当n和m大于等于N时,级数的部分和之差的绝对值小于ε,即|s_n - s_m| < ε。
这些条件是收敛级数的基本要求,如果一个级数满足了以上条件,则可以说该级数是收敛的。
相关概念:
在一些一般性叙述中,收敛和收敛性这两个词(在外语中通常是同一个词)有时泛指函数或数列是否有极限的性质,或者按哪一种意义(什么极限过程)有极限。在这个意义下,数学分析中所讨论的收敛性的不同意义(不同类型的极限过程)大致有:对数列(点列)只讨论当其项序号趋于无穷的收敛性。
对一元和多元函数最基本的有自变量趋于定值(定点)的和自变量趋于无穷的这两类收敛性;对多元函数还有沿特殊路径的和累次极限意义下的收敛性;对函数列(级数)有逐点收敛和一致收敛。
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