Question

高中数学函数题

已知函数 对一切实数 都有 ，且当 时， ，又 。
（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R上的单调性；（3）求 在[ ]上的最大值和最小值。
已知函数f(x) 对一切实数x,y属于R 都有f(x+y)=f(x)+f(y) ，且当x>0时有f(x)<0，又f(3)=-2 。
（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R上的单调性；（3）求f(x) 在[ -12,12]上的最大值和最小值。

Answer 1

1. f(0+0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0
f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
奇函数
2. 设x1>x2 x1-x2=x3 则 x3>0 f(x3)<0
f(x1)=f(x2+x3)=f(x2)+f(x3)
f(x1)-f(x2)=f(x3)<0
f(x1)<f(x2)
单调递减
3.f(6)=f(3)+f(3)=-4
f(12)=f(6)+f(6)=-8
f(-12)=-f(12)=8
由于单调递减
最大值8，最小值-8

Answer 2

令Y=-X 则有F（0）=F(X)+F(-X) 奇函数 （2）奇函数关于原点对称，而且单调性是一致的，在X大于0有F（X）小于0所以函数在R上市单调递减 （3）由2可知道单调递减 所以就是求最大值F（-12）和最小值F（12） 且有F（-12）=F（12），由公式F(X+Y)=F(X)+F(Y)得 F（12）=F(6+6)=F(6)+F(6)=2F(6);f（6）=2F(3);所以F(12)=4f（3）=-8 即最大值F（-12）=8最小值F（12）=8