Question

一道数学分析题

设f（x）在[0,1]上连续，且1≤ f(x) ≤3，证明：
1≤∫f(x)dx∫（1/f(x））dx≤4/3；
注：不等式中的积分都是从0到1的定积分

Answer 1

我上传了柯西-施瓦茨不等式的图，把式中的的F(X)平方与G(X)平方，用本题中的f(x)与1/f(x)代入，即可得到

1≤∫f(x)dx ∫( 1/f(x）)dx

后一个暂时没做出来，等做出来了再修改答复吧。

Answer 2

要用到二重积分，∫f(x)dx∫（1/f(x））dx = ∫f(x)dx∫（1/f(y））dy = ∫∫（f(x)/f(y））dxdy.
同理，∫f(x)dx∫（1/f(x））dx = ∫∫（f(y)/f(x））dxdy.
故∫f(x)dx∫（1/f(x））dx = 1/2 × ∫∫（f(y)/f(x） + f(x)/f(y）））dxdy。
2 <= f(y)/f(x） + f(x)/f(y）<= 8/3
……

Answer 3

前一半用柯西不等式
1=[∫[f(x)(1/f(x))]^(1/2)dx]^2≤∫f(x)dx∫（1/f(x））dx
后一半用均值不等式
∫f(x)dx∫(1/f(x))dx≤[∫f(x)dx+∫(1/f(x))dx]^2/4
=[∫f(x)+(1/f(x))dx]^2/4≤[∫3+(1/3)dx]^2/4=25/9
(放大过度,没证出来)
期待高手!

Answer 4

这么专业的问题..还不给分..拒绝回答- -！

Answer 5

不给分，我也拒绝回答，