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例1 已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A + ∠C = 180°
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM
∵ AB = BE
又 ∵ BD平分∠ABC A D
∴ ∠ABD = ∠EBD
在△ABD与△EBD中,
AB = BE
∠ABD = ∠EBD
BD = BD B E M C
∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1
∴ AD = ED ∠A = ∠BED ，
∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC
∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180°
例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分ÐEAB、ÐCBA，EC过点D。
求证：AB=AE+BC
分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且ÐEDC=180°，又由于AE//BE，因此ÐE+ÐC=180°从而ÐEAB+ÐCBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出Ð1+Ð4=90°，从而可推证出ÐADB=90°，因而Ð6+Ð8=90°。若能推证出Ð7=Ð8，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，Ð1=Ð2，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则Ð5=Ð6，由于Ð5+Ð7=90°因此，Ð6+Ð7=90°，又由于Ð6+Ð8=90°，从而可推出Ð7=Ð8，由此可由AD是公共边，Ð3=Ð4推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。
证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。
∴ BD是ÐABC的平分线，∴Ð1=Ð2
在DBDF和DBDC中
（公共边）
∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2
∴Ð5=Ð6（全等三角形对应角相等）
∴Ð3+Ð8+ÐE=Ð4+Ð1+Ð5+Ð7=Ð2+Ð6+ÐC=180°（三角形内角和定理）
∴ÐE+ÐEAB+ÐABC+ÐC+ÐEDC=540°
又∴AE//BC∴ÐE+ÐC=180°（两直线平行同旁互补）
又∵ÐEDC=180°∴Ð1+Ð2+Ð3+ Ð4=180°
∴AD是ÐEAB的平分线 ∴Ð3=Ð4
∴Ð1+Ð4=90° ∴Ð5+Ð7=90°（三角形内角和定理）
∴Ð6+Ð8=90° ∵Ð5=Ð6 ∴ Ð7=Ð8
在DAED和DAFD中
∴DAED≌DAFD (ASA)
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）
∵ AF+FB=AB
∴AE=FB=AE+BC=AB
即AB=AE+BC
分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于Ð5=6，AE//BC，因此可推出Ð3=ÐF，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，ÐE+ÐBCE=180°，因此可知ÐEAB+ÐCBA=180°，又由于AD、BD是ÐEAB、ÐCBA的平分线，从而可推出Ð1+Ð4=90°，因此ÐADB=90°，则ÐEDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。
证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F
在DAED、DADB、DBDC中
三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理）
又∵ÐEDC=180°（平角定义） ∴ÐE+ÐC+ÐEAB+ÐABC=180°
AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补）
∴Ð3+Ð4+Ð1+Ð2=180°
又∴AD、BD分别是ÐEAB、ÐABC的平分线
∴Ð3=Ð4，Ð1=Ð2（角平分线定义）
∴Ð1+Ð4=90° ∴ÐADB=90°（三角形内角和定理）
∴ÐBDF=90° 在DADB和DBDF中
∴DADB≌DBDF(ASA)
∴AD=FD, AB=FB，Ð4=ÐF（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3
在DAED和DFCD中
∴DAED≌DFCD
∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC
例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC,
求证：AB—AC＞BD—DC
分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。
证明： 方法一： 截长法
在AB上截取AE = AC，连接ED。 A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△ADE与△ADC中, E
AE = AC
∠EAD= ∠DAC B D C
AD = AD 如图3-1
∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C
在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边）
即 AB—AE＞BD—DC
∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换）
方法二： 补短法
延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△BAD与△EAD中,
AB = AE C
∠BAD = ∠DAC B D E
AD = AD
∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2
在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边）
即 AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC
例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
图4-2
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED（AAS）
,∴AB=AE.
图4-3
又AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3
在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
求证：∠A + ∠C = 180°
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM
∵ AB = BE
又 ∵ BD平分∠ABC A D
∴ ∠ABD = ∠EBD
在△ABD与△EBD中,
AB = BE
∠ABD = ∠EBD
BD = BD B E M C
∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1
∴ AD = ED ∠A = ∠BED ，
∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC
∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180°
例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分ÐEAB、ÐCBA，EC过点D。
求证：AB=AE+BC
分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加辅助线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且ÐEDC=180°，又由于AE//BE，因此ÐE+ÐC=180°从而ÐEAB+ÐCBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出Ð1+Ð4=90°，从而可推证出ÐADB=90°，因而Ð6+Ð8=90°。若能推证出Ð7=Ð8，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，Ð1=Ð2，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则Ð5=Ð6，由于Ð5+Ð7=90°因此，Ð6+Ð7=90°，又由于Ð6+Ð8=90°，从而可推出Ð7=Ð8，由此可由AD是公共边，Ð3=Ð4推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。
证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。
∴ BD是ÐABC的平分线，∴Ð1=Ð2
在DBDF和DBDC中
（公共边）
∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2
∴Ð5=Ð6（全等三角形对应角相等）
∴Ð3+Ð8+ÐE=Ð4+Ð1+Ð5+Ð7=Ð2+Ð6+ÐC=180°（三角形内角和定理）
∴ÐE+ÐEAB+ÐABC+ÐC+ÐEDC=540°
又∴AE//BC∴ÐE+ÐC=180°（两直线平行同旁互补）
又∵ÐEDC=180°∴Ð1+Ð2+Ð3+ Ð4=180°
∴AD是ÐEAB的平分线 ∴Ð3=Ð4
∴Ð1+Ð4=90° ∴Ð5+Ð7=90°（三角形内角和定理）
∴Ð6+Ð8=90° ∵Ð5=Ð6 ∴ Ð7=Ð8
在DAED和DAFD中
∴DAED≌DAFD (ASA)
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）
∵ AF+FB=AB
∴AE=FB=AE+BC=AB
即AB=AE+BC
分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于Ð5=6，AE//BC，因此可推出Ð3=ÐF，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，ÐE+ÐBCE=180°，因此可知ÐEAB+ÐCBA=180°，又由于AD、BD是ÐEAB、ÐCBA的平分线，从而可推出Ð1+Ð4=90°，因此ÐADB=90°，则ÐEDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。
证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F
在DAED、DADB、DBDC中
三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理）
又∵ÐEDC=180°（平角定义） ∴ÐE+ÐC+ÐEAB+ÐABC=180°
AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补）
∴Ð3+Ð4+Ð1+Ð2=180°
又∴AD、BD分别是ÐEAB、ÐABC的平分线
∴Ð3=Ð4，Ð1=Ð2（角平分线定义）
∴Ð1+Ð4=90° ∴ÐADB=90°（三角形内角和定理）
∴ÐBDF=90° 在DADB和DBDF中
∴DADB≌DBDF(ASA)
∴AD=FD, AB=FB，Ð4=ÐF（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3
在DAED和DFCD中
∴DAED≌DFCD
∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC
例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC,
求证：AB—AC＞BD—DC
分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。
证明： 方法一： 截长法
在AB上截取AE = AC，连接ED。 A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△ADE与△ADC中, E
AE = AC
∠EAD= ∠DAC B D C
AD = AD 如图3-1
∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C
在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边）
即 AB—AE＞BD—DC
∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换）
方法二： 补短法
延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△BAD与△EAD中,
AB = AE C
∠BAD = ∠DAC B D E
AD = AD
∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2
在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边）
即 AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC
例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
图4-2
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED（AAS）
,∴AB=AE.
图4-3
又AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3
在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
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一条长为105米的绳子要给与长为49米的绳子多长才能相等？
答案：105-49=56，56/2=28,所以为28M。 (楼上的别乱复制）。。。
答案：105-49=56，56/2=28,所以为28M。 (楼上的别乱复制）。。。
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