Question

高数函数极限连续问题！急！！！！！！！

求下列函数的间断点，说明这些点属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使他连续。
1.Y=（COS兀/2X）/X^2(X-1)
2.Y=(X^2-2X)/|X|(X^2-4)
3.Y=X/TANX.X=K兀,X=K+兀/2 (K是整数)
3.当a为何值时,F(X)={(COS2X-COS3X)/X^2 X不等于0
{a X=0
在X=0处连续

请重点将一下左右极限的求法!!!
多谢!!!

Answer 1

1.∵f(x)=cos(πx/2)/[x²(x-1)]
∴它的间断点是：x=0,x=1
∵f(0+0)和f(0-0)不存在
f(1+0)=f(1-0)=lim(x->1){cos(πx/2)/[x²(x-1)]}
=lim(x->1)(1/x²)*lim(x->1)[cos(πx/2)/(x-1)]
=1*(-π/2)
=-π/2
∴x=0是属于第二类间断点
x=1是属于可去间断点
在原函数中，令x=1时，y=-π/2
原函数在点x=1就连续了
2.∵y=(x²-2x)/[|x|(x²-4)]
∴它的间断点是：x=0,x=2，x=-2
∵f(0+0)=1/2,f(0-0)=-1/2
f(2+0)=f(2-0)=1/4
f(-2+0)和f(-2-0)都不存在
∴x=0是属于第一类间断点，x=-2是属于第二类间断点
x=2是属于可去间断点，补充定义：当x=2时，y=1/4.原函数在点x=2就连续了
3.∵y=x/tanx
∴x=kπ,x=kπ+π/2 (K是整数)是它的间断点
∵f(0+0)=f(0-0)=1 (K=0时）
f(kπ+0)和f(kπ-0)都不存在 （k≠0时）
f(kπ+π/2+0)=f(kπ+π/2-0)=0
∴x=kπ (是不为零的整数）是属于第二类间断点，
x=0和x=kπ+π/2 (K是整数)是属于可去间断点
补充定义：当x=0时，y=1.当x=kπ+π/2 (K是整数)时，y=0.
原函数在点x=0和x=kπ+π/2 (K是整数)就连续了。
4.∵F(0+0)=F(0-0)=lim(x->0){[cos(2x)-cos(3x)]/x²}
=lim(x->0){[-2sin(2x)+3sin(3x)]/(2x)} (利用罗比达法则)
=lim(x->0){[(-2)sin(2x)/(2x)][(9/2)sin(3x)/(3x)]}
=lim(x->0)[(-2)sin(2x)/(2x)]*lim(x->0)[(9/2)sin(3x)/(3x)]
=(-2)*(9/2) (利用特殊极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
=-9
∴当a=-9时，函数F(x)在x=0处连续。