Question

抛物线x^2=4y 的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点，求AB中点的轨迹方程

抛物线x^2=4y 的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点，求AB中点的轨迹方程

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我算的是y=x^2/2+x/2

Answer 1

解答如下：设直线的斜率为k 则直线的方程为y=kx-1 同时设直线与抛物线的交A、B点坐标分别为（x1,y1）(x2,y2) A、B中点为（x0,y0）显然：x0=(x1+x2)/2
yo=(y1+y2)/2同时有x1^2=4y1 ① x2^2=4y2 ② 将①-②同时移项可得
(y2-y1)/(x2-x1)=(x1+x2)/4=k ③ 注意到A、B也在所设定的直线上，故有 (y2-y1)/(x2-x1)=k④ 由于设定的x0=(x1+x2)/2 故与③比较
即有 x0=2k 同时由于y1=kx1-1 y2=kx2-1 将这两个式子向加移项有 y1+y2=k(x1+x2)-2 ⑤ 与设定的y0=(y1+y2)/2比较，即将⑤式两边分别除以2 易有：y0=(y1+y2)/2=k *(（x1+x2)/2)-1=2k^2-1 到此 我们即有 x0=2k y0=2k^2-1 消去k即有 x^2=2(y+1) （x>2或x<-2）
本来道这里就可以完了 不过要追求更加严谨的话可以算算定义域 具体如下由于方程 有解 { x^2=4y y=kx-1 } 联立消去y有x^2-4kx+4=0 △>0(不能等于0) 有k>1或者k<-1 与x0=2k 比较即有 x>2或x<-2解答到此

Answer 2

A(x1,y1) B(x2,y2)
设直线方程
y=kx-1
代入x^2=4y
x^2-4kx+4=0
x1+x2=4k
中点的横坐标x=2k
k=x/2
y1+y2=k(x1+x2)-2=2k^2-2
中点的纵坐标y=k^2-1
=x^2/4-1
线段AB中点的轨迹方程
y=(x^2/4)-1