Question

设有方程x^y=y^x确定y是x的函数,求dy/dx

我先把原方程化为e^(xlny)=e^(ylnx),再得出xlny=ylnx,再二边同时对x求导，最后得到dy/dx;
或直接用e^(xlny)=e^(ylnx)对x求导,得出dy/dx；
二次得出的结果不同，但我认为是第二种方法是对的，又找不出第一种方法错在哪里？请帮我找出底一种方法的不合理处

Answer 1

我算得是一样的啊,你是不是第二种方法中忘记对对指数中的xlny和ylnx分别求导

确实是一样的,我又计算了一遍,要注意一样的数值要消掉

还有楼上的说得不对,因为等式要成立的话,根据冥指数的定义X>0 Y>0

Answer 2

首先你要知道,求导数的结果不一定是唯一的.但你第一种方法确实不对,你得出xlny=ylnx,实际默认条件是x>0,y>0,比原定义域小.因此是不正确的.第二种其实也不对,原因同上,你应该再考虑一下,注意x,y的定义域

Answer 3

我也犯了一样的错误，其实很简单，你忘记通过题设的x^y=y^x把第二种的这一部分约掉了，其实这两种方法是一回事