Question

这个题目怎么做,设数列{Xn}有界，又lim Yn=0,证明:lim XnYn=0

Answer 1

用定义证明即可，
因为数列{Xn}有界
所以存在常数C》0，使得
|Xn|<C，
因为数列{Yn}的极限是0
则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|<e/C
于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<C*e/C=e
由于e的任意性
所以数列{XnYn}的极限是0

Answer 2

因为数列{Xn}有界

所以不妨假设|Xn|<M(M>0)

因为数列{Yn}的极限是0

则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|<e/M

于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|<M*e/M=e

由于e的任意性

所以数列{XnYn}的极限是0