Question

已知函数y=loga（x+3）-1的图像恒过定点A。若A点在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求1/m+2/n最小值

答案是:8.

Answer 1

x=-2，y=loga(1)-1=-1
所以A(-2,-1)
所以-2m-n+1=0
2m+n=1

(1/m+2/n)*1
=(1/m+2/n)(2m+n)
=4+2(m/n+n/m)
mn>0
所以m/n>0,n/m>0
所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2
当m/n=n/m，m=n时取等号
2m+n=1,m=n,有解，等号能取到
所以最小值=4+2*2=8

Answer 2

函数y=loga（x+3）-1的图像恒过定点A

当x=-2时，y恒为-1
所以点A（-2，-1）

A点在直线mx+ny+1=0上
-2m-n+1=0
2m+n=1

n=1-2m
mn>0
所以m和n的符合相同

1/m+1/2n=1*（1/m+1/2n）
=（2m+n）（1/m+1/2n）
=2+m/n+n/m+2
=4+(m/n+n/m)
由于mn>0
所以
m/n>0 n/m>0

=4+(m/n+n/m)
≥4+2√(m/n*n/m)=6
当且仅当m=n时取等号
此时
2m+n=1 2m+m=3m=1 m=n=1/3

所以当m=n=1/3时，1/m+2/n最小值为6