Question

高数函数连续性习题

讨论函数f(x)= 2x,0≤x≤1 ， 3-x,1<x≤2 ，在x=1处是否连续？并作出f(x)的图形。

请教这道题的详解？谢谢

Answer 1

连续的定义就是函数值与极限相等

首先来计算下极限是否存在
左极限=2
右极限=2
左右极限相等 故极限存在且为2

再来看看函数值
f(1)=2

于是函数值与极限相等
故f(x)在x=1处是连续的

Answer 2

不连续
图我可作不到
总之，x=1时，f(x)=2x

Answer 3

额，楼上，连续就一定可导么，有一些反例吧
而且求导有误啊
我的一点想法
先有个结论，n->无穷时,x0为大于0的常数
lim
n√(x0)=1
n√(x0)表示开n次方
这样对任意x0>0,f(x0)=f(x0^1/2)=f(x0^1/4)...=f[x0^（1/2k)]
就是开2k次方啦
f(x)在1处连续,故对e，存在b,|x-1|<b时，|f(x)-f(1)|<e
又存在K,k>K时，|x0^(1/2k)-1|<b
故|f(x0)-f(1)|=|f(x0^(1/2k))-f(1)|<e
到这一步明白了吧
基本上可以说f(x0)=f(1)了，为了严谨再加一步
f(x)在x0连续,f(x0)=limf(x)(x->x0)
按定义叙述一下...|f(x)-f(x0)|<e
两个式子合并一下,|f(x)-f(1)|<2e,(x->x0)
所以f(x0)=limf(x)(x->x0)
=f(1)
所以f(x)=f(1),x>0
这就证完了吧