已知a>0,b>0,且a+b=1,则(a+1/a)(b+1/b)的最小值为
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(a+1/a)(b+1/b)
=ab+b/a+a/b+1/(ab)
=(a^2b^2+b^2+a^2+1)/(ab)
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/(ab)
a+b=1
=[a^2b^2+1-2ab+1]/(ab)
=a^2b^2/ab-2ab/ab+2/ab
=ab+2/ab-2
a+b=1>=2√(ab)
√(ab)<=1/2
∴0<ab<=1/4
∴ab+2/ab-2>=(1/4)+2/(1/4)-2=25/4
(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4
=ab+b/a+a/b+1/(ab)
=(a^2b^2+b^2+a^2+1)/(ab)
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/(ab)
a+b=1
=[a^2b^2+1-2ab+1]/(ab)
=a^2b^2/ab-2ab/ab+2/ab
=ab+2/ab-2
a+b=1>=2√(ab)
√(ab)<=1/2
∴0<ab<=1/4
∴ab+2/ab-2>=(1/4)+2/(1/4)-2=25/4
(a+1/a)(b+1/b)的最小值为25/4
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