Question

证明：当n为大于2的整数时，n^5-5n^3+4n能被120整除．

要详细！！！！
过程！！！
速度！！
好！

Answer 1

n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)
=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
五个连续的整数必有一个能被5整除，所以上式能被5整除。
五个连续的整数至少有一个能被3整除，所以上式能被3整除。
五个连续的整数至少有一个能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除。
综上所述，原式能被3*5*8=120整除

Answer 2

N^5-5n^3+4n
=n[n^4-5n^2+4]
=n[n^2-1][n^2-4]
=n[n+1][n-1][n+2][n-2]
=[n-2][n-1]n[n+1][n+2]

由此可见，上式是一个连续五个自然数之积。五个连续自然数中必有4、5、6的倍数，那么他们的积必是4*5*6=120的倍数。
即能被120整除。

Answer 3

n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-4)(n^2-1)
=n(n+2)(n-2)(n+1)(n-1)
是五个连续自然数的积。
这五个自然数中必定有一个是3的倍数，一个是4的倍数，一个是5的倍数；
所以这个数必定能够被3*4*5=120整除。

Answer 4

n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-4)(n^2-1)=(n+2)(n+1)n(n-2)(n-1)
n为大于2的整数，所以在n+2，n+1，n，n-1，n-2这五个数里一定有5，4，3这三个数的倍数或它本身，至于这个怎么证，我就知道数学归纳法，不知lz学了没有。

Answer 5

当n大于2时
n-2，n-1，n,n+1，n+2则为5个连续自然数
根据
抽屉原理
,5个连续自然数中,必然有一个数为2的整数倍,一个数为3的整数倍,一个数为4的整数倍,一个数为5的整数倍
因此他们的积也必定能被2X3X4X5=120
整除

Answer 6

n^5-5n^3+4n可以分解为（n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)
当n大于2时，上式即为5个连续整数的乘积，而120可分解为2*3*4*5
每两个数中必然有一个可以被2整除，每三个数中必有一个可以被3整除，每四个数中必有一个可以被4整除，每五个数中必有一个可以被5整除，所以。五个连续整数相乘必然可以整除2*3*4*5.得证