Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R，(其中A＞0,ω＞0,0＜φ＜π/2)的周期为π且图象上的最低点为(2π/3,-2)

⑴求f(x)的解析式；
⑵当x∈[0，π/12]时，求f(x)的最值.

Answer 1

解：（1）由最低点为M(2π 3 ，-2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π 2 得T 2 =π 2 ，即T=π，ω=2π T =2π π =2由点M(2π 3 ，-2)在图象上的2sin(2×2π 3 +φ)=-2，即sin(4π 3 +φ)=-1故4π 3 +φ=2kπ-π 2 ，k∈Z∴φ=2kπ-11π 6 又φ∈(0，π 2 )，∴φ=π 6 ，故f(x)=2sin(2x+π 6 )
（2）∵x∈[π 12 ，π 2 ，∴2x+π 6 ∈[π 3 ，7π 6 ]当2x+π 6 =π 2 ，即x=π 6 时，f（x）取得最大值2；当2x+π
6 =7π 6 即x=π 2 时，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域为[-1，2]

解析（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．
（2）根据x的范围进而可确定当2x+π 6 的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．