Question

高一数学，急等急等！！！！！！！！！

已知f(x)是定义在（负无穷大，正无穷大）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y，f(x)都满足f(x·y)=yf(x)+xf(y).
(1)求f(1)、f(-1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由。

要详细过程，好的追分！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

对于这种题目f(xy)=yf(X)+xf(y)是关键,f(1),f(-1)要尽量把它们构造出来
设x=1 y=1 f(1)=f(1)+f(1) 求出f(1)=0
设x=-1 y=1 f(-1)=f(-1)-f(1) 求出f(-1)=0

(2) 设y=-1 f(-x)=-f(x)+xf(-1) xf(-1)=0(前面证过)
f(-x)=-f(x) 又f(0)=0 所以是奇函数

Answer 2

1.令x,y=1 于是f(1*1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=0
令x,y=-1 于是f(-1*-1)=-f(-1)-f(-1) 即f(1)=2f(-1) f(-1)=0
2.令y=-1 f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x) 由此可见f(x)为奇函数

Answer 3

f(1*1)=1*f(1)+1*f(1)
f(1)=0
f(1)=f(-1*-1)=-1*f(-1)+ -1*f(-1)=0
f(-1)=0

f(-x)=f(-1*x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)
所以f(x)是奇函数！