Question

三角形三边上各取一点连接后所得的三角形周长最短，如何求做这样的点

请给出理由

顺便问一下，三边高的交点（垂心）有什么性质

谢谢各位了

Answer 1

三角形abc中,n为bc上一点.
试分别在ab、ac上求作点p、m,使得三角形pmn的周长最小.
作法：
(1)作出点n关于ab的对称点n1;
(2)作出点n关于ac的对称点n2;
(3)连接n1n2,分别交ab、ac于p、m.
则p、m就是要求作的点.（此时三角形pmn周长最小）

Answer 2

三边高的交点（垂心） 将高分为两段 长度比例为2：1 （垂心到顶点的距离为2）
（1）设D是BC上固定点，求此时的周长最短的内接三角形。

作D关于AB、AC的对称点D1、D2，连D1D2交AB、AC于E、F，则△DEF为所求。实际上，对于△ABC的任一内接△DE′F′，有

DE′+E′F′+F′D=D1E′+E′F′+F′D2

≥D1D2=D1E+EF+FD2

=DE＋EF＋FD。

就是△DEF的周长≤△DEF的周长。

因此，我们只要对于每一个BC上的点D，都找出相应于该点的周长最短的内接三角形DEF，在这些三角形中找出周长最短的一个就行。

（2）由于 AD1=AD，AD2=AD，故△AD1D2是等腰三角形。又由于∠1=∠2，∠3=∠4，故△AD1D2的顶角∠D1AD2=2∠BAC为定值，因此，只有当其腰AD1最短时，D1D2最短。此时必有AD最短。从而当 AD为△ABC的高时，内接三角形DEF的周长最短。

（3）当AD为△ABC的高时，由前面三角形垂足三角形性质，可证△ABC的内接三角形中，以其垂足三角形DEF的周长最短。