Question

高二数学必修5 数列题

设数列{An}的前项和为Sn，已知A1=1,S(n+1)=4An+2，
（1）设Bn=A(n+1)-2An，证明数列{An}是等比数列
（2)求数列{An}的通项公式

Answer 1

1、证：
由于S(n+1)=4An+2
S(n+2)=4A(n+1)+2
两式相减，知A(n+2)=4A(n+1)-4An
即A(n+2)-2A(n+1)=2[A(n+1)-2An]。
又因为bn=A(n+1)-2An，
故B(n+1)=2Bn。
容易求得A1=1，A2=5，
所以B1=A2-2A1=3。
故{Bn}是以3为首项，2为公比的等比数列。

2、
由于Bn=3*2^(n-1)，
即A(n+1)-2An=3*2^(n-1)

A(n+1)=2An+3*2^(n-1)
A(n)=2A(n-1)+3*2^(n-2)
A(n-1)=2A(n-2)+3*2^(n-3)
...
A(2)=2A(1)+3*2^(0)
将以上各式代入前一式中：
A(n+1)=2[2A(n-1)+3*2^(n-2)]+3*2^(n-1)
=2^2A(n-1)+3*2^(n-1)+3*2^(n-1)
=2^2A(n-1)+2*3*2^(n-1)
=2^2[2A(n-2)+3*2^(n-3)]+2*3*2^(n-1)
=2^3A(n-2)+3*3*2^(n-1)
...
=2^(n+1-k)*A(k)+(n+1-k)*3*2^(n-1)
...
=2^n*A(1)+n*3*2^(n-1)
=2^n+3n*2^(n-1).

因此An=2^(n-1)+3(n-1)*2^(n-2)
=3n*2^(n-2)-2^(n-2)，n>1。另外，A1=1。

（验证：A2=3*2*2^(0)-2^(0)=5
A3=3*3*2^(1)-2^(1)=18-2=16
A4=3*4*2^(2)-2^(2)=48-4=44
故是成立的。）