已知数列an满足1/a1a2+1/a2a3+……1/an-1an=(n-1)/a1an,求证为等差数列 15
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用数学归纳法证明：
1.n=3时，1/(a1a2)+1/(a2a3)=2/(a1a3),即a3+a1=2a2，为等差数列；
2.假定n=k时，{ak}是等差数列，即ak=a1+(k-1)d,其中d=a2-a1
当n=k+1时，
由1/a1a2+1/a2a3+…+1/an-1an=(n-2)/(a1an-1)+1/an-1an=(n-1)/a1an
可得：(k-1)/(aka1)+1/(akak+1)=k/(a1ak+1)
(k-1)ak+1+a1=kak=ka1+k(k-1)d
ak+1=a1+kd
ak+1-ak=d
于是{ak+1}是等差数列
综上：{an}是等差数列.
1.n=3时，1/(a1a2)+1/(a2a3)=2/(a1a3),即a3+a1=2a2，为等差数列；
2.假定n=k时，{ak}是等差数列，即ak=a1+(k-1)d,其中d=a2-a1
当n=k+1时，
由1/a1a2+1/a2a3+…+1/an-1an=(n-2)/(a1an-1)+1/an-1an=(n-1)/a1an
可得：(k-1)/(aka1)+1/(akak+1)=k/(a1ak+1)
(k-1)ak+1+a1=kak=ka1+k(k-1)d
ak+1=a1+kd
ak+1-ak=d
于是{ak+1}是等差数列
综上：{an}是等差数列.
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