Question

对x属于r,不等式2x^2-a√（x^2+1）+3>0恒成立，求a的范围

谢谢了，求个过程

Answer 1

2x^2-a√（x^2+1）+3>0
2(x^2+1)-a√（x^2+1）+1>0
设√（x^2+1）=y
原式变为2y^2-ay+1>0
因为对x属于r,不等式2x^2-a√（x^2+1）+3>0恒成立，
y>=1
所以原题变成了不等式2y^2-ay+1>0当y>=1时恒成立
这样只要满足2y^2-ay+1的对称轴小于1，并且y=1时，不等式大于0就可以了
所以a/4<1且2-a+1>0
得到a<4且a<3
取交集,a<3

Answer 2

思路：用换元法转化成整式不等式。
2x^2-a√（x^2+1）+3>0
2(x^2+1) -a√（x^2+1）+1>0
令t＝√（x^2+1）≥1对x属于R都成立
问题转化为对任意t≥1，
2t^2-at+1>0恒成立
又设f(t)= 2t^2-at+1
图象是开口向上的抛物线
对称轴t=a/4
问题转化为动轴定区间的二次函数值域问题
当a/4≤1,即a≤4
f(t)在[1,+∞)上是增函数
f min=f(1)=3-a>0,a<3
∴a<3
当a/4>1,即a>4
△=a^2-8<0,
无解
综上所述
a<3