Question

一阶线性递推数列求通项公式

老师说有9种求法。 都写出来。 谢谢了！

Answer 1

一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
　　当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为0．
2.
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
3.；
这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.
例1已知数列中，,求的通项公式．
解析：解法一：转化为型递推数列．
∵∴又，故数列｛｝是首项为2，公比为2的等比数列．∴，即．
解法二：转化为型递推数列．
∵=2xn-1+1(n≥2)　　①　　∴=2xn+1　　②
②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为2的等比数列，即，再用累加法得．
解法三：用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例2　已知函数的反函数为
求数列的通项公式.
解析：由已知得，则．
令=,则.比较系数，得.
即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（4）
若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.
（5）；
这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
例3　设数列求数列的通项公式．
解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．
例4　设求数列的通项公式．
解析：设用代入，可解出．
∴是以公比为-2，首项为的等比数列．
∴，
即．
（6）
这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　
例5　设数列求数列的通项公式．
解析：由可得

设
故即用累加法得
　或

例6　在数列求数列的通项公式．
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令使数列是以 为公比的等比数列(待定)．
即∴对照已给递推式， 有即的两个实根．
从而
∴　　①
或　　②
由式①得；由式②得．
消去．
例7　在数列求．
解析：由　①，得②．
式②+式①，得，从而有．∴数列是以6为其周期．故==-1．
三、特殊的n阶递推数列
例8　已知数列满足，求的通项公式．
解析：∵　　 ①
　　　∴ ②
②－①，得．∴故有

将这几个式子累乘，得
又
例9　数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．
解析：由 ①，得 ②．
式①－式②，得，或，故有.
∴,.
将上面几个式子累乘，得，即．
∵也满足上式，∴．

Answer 2

怎么可能有9种！！
这是我回答的别人的一个问题，此法绝对搞定所有一阶线性递推数列，是通用算法，你看一下。

http://zhidao.baidu.com/question/117224118.html

Answer 3

可以使用待定系数法。
设a[n+1]=ka[n]+b，如果k=1就是等差数列，因此仅关注k不等于1的情况。注意到如果递推式可以化成a[n+1]+λ=k(a[n]+λ)的形式，a[n]+λ就是等比数列，从而可以得到a[n]+λ=(a[1]+λ)k^(n-1)，进而得到a[n]=(a[1]+λ)k^(n-1)-λ。因此关键就是求λ。
注意a[n+1]+λ=k(a[n]+λ)等价于a[n+1]=ka[n]+kλ-λ，对比a[n+1]=ka[n]+b可知kλ-λ=b，因此λ=b/(k-1)。
综上，可求得a[n]=(a[1]+b/(k-1))k^(n-1)-b/(k-1)。