Question

高一函数奇偶性题

已知g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)是奇函数.若f(x)的最小值为1，求f(x)的解析式.

写清步骤~谢谢

Answer 1

题目应为：已知函数g(x)=-x^2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)为奇函数,当x属于[-1,2]时,f(x)的最小值为1，求f(x)

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)+g(x)为奇函数
则f(x)+g(x)=-[f(-x)+g(-x)]
ax^2+bx+c-x^2-3=-(ax^2-bx+c-x^2-3)
(2a-2)x^2+2c-6=0
则a=1 c=3
所以f(x)=x^2+bx+3=(x+b/2)^2+3-b^2/4
1'-b/2属于[－1,2]
则最小值为3-b^2/4=1
b=2√2或者b=-2√2
均不属于[－1,2]所以舍去
2'-b/2<-1时 b>2
最小值为x=-1时取得 f(-1)=1-b+3=1
b=3
满足
3'-b/2>2时 b<-4
最小值为x=2时取得 f(2)=4+2b+3=1
b=-3
不属于b<-4
舍去
所以f(x)=x^2+3x+3

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c
令h(x)=f(x)+g(x)=(a-1)x²+bx+(c-3)
是奇函数
h(-x)=-h(x)
所以(a-1)x²-bx+(c-3)=-(a-1)x²-bx-(c-3)
(a-1)x²+(c-3)=0
不论x取何值，他都成立
所以a-1=0,c-3=0
f(x)=x²+bx+3=(x+b/2)²-b²/4+3
最小值=-b²/4+3=1
b=±2√2
所以f(x)=x²-2√2x+3或f(x)=x²+2√2x+3

Answer 3

设f(x)=x^2+ax+3

最小值是3-a^2/4=1

a=2√2

f(x)=x^2+2√2 x+3