Question

正数a使得关于x代数式|x+1|+|x-6|+2|x-a|的最小数是8,那么a的值为

正数a使得关于x代数式|x+1|+|x-6|+2|x-a|的最小数是8,那么a的值为___
要有解题过程！！最好详细一点！！！

Answer 1

第三讲 函数的概念和性质
知识、方法、技能

I．函数的定义
设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然C B.
II．函数的性质
（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.
（2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.
III．函数的周期性
对于函数¬ f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.
IV．高斯函数
对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数.
进一步，记{x}=x－[x]，则函数y={x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分.
根据高斯函数的定义，可得到其如下性质.
性质1 对任意x∈R，均有
x－1<[x]≤x<[x]+1.
性质2 对任意x∈R，函数y={x}的值域为 .
性质3 高斯函数是一个不减函数，即对任意x1, x2∈R，若x1≤x2, 则[x1] ≤[x2].
性质3 若n∈Z, x∈R,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x}
后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.
性质4 若x , y ∈R， 则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1.
性质5 若n∈N*, x∈R, 则[nx]≥n[x]
性质6 若n∈N*, x∈R, 则 .
性质7 若n∈N*, x∈R+, 则在区间[1,x]内，恰有 个整数是n的倍数.

性质8 设p为质数，n∈N*,在p在n!的质因数分解式中的幂次为

赛题精讲
函数是高中数学，也是高等数学的基础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.下面分类介绍此类题目.
I 函数的定义域和值域
例1 当x为何值时， 才有意义.
【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求出x的范围.
【略解】由 >0，得 ≥1
……
∴
【评述】这种多层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。
例2 设A={a|a=7p,p∈N*},在A上定义函数f如下：若a∈A，则f(a)表示a的数字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，设函数f的值域是集合M.求证：M={n|n∈N*, n≥2}.
【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明.
【略解】先证M {n|n∈N*,n≥2}.
任取x∈M, 即x是被7整除的正整数的数字之和，由于7×10n，n=0, 1,2，…，所以x的数字之和是大于1的正整数，因此x∈{n|n∈N*，n≥2}.所以
M {n|n∈N*,n≥2}.
再证{n|n∈N*，n≥2} M.
任取x∈{n|n∈N*,n≥2},即x是大于1的正整数.下面分两种情形：
当x=2k(k∈N*)时，由于7|100|，于是取
a= 10011001…1001，

k个1001
则7|a，且f(a)=2k,所以x∈M.
当x=2k+1(k∈N*)时，由于7|100|，7|21，于是取
b=10011001…100121，

k－1个1001
则7|b，且f(b)=2(k－1)+3=2k+1,故x∈M,故x∈M.所以
{n|n∈N*, n≥2} M.
因此 M={n|n∈N*, n≥2}.
【评述】此类题目的证明严谨、科学.
例3 设正实数x, y满足xy=1，求函数
f(x, y) = 的值域.（其中（[x]表示不超过x的最大整数）
【思路分析】由x、y的对称性，不妨设x≥y，则有x2≥1，必分x=1与x>1两种情况讨论.
【详解】不妨设x≥y，则x2≥1,x≥1.有下面两种情形：
（1）当x=1时，y=1，此时f(x,y)= .
（2）当x>1时，设[x]=n， {x}=x－[x]=α，则x=n+α,0≤α<1.
于是，y= <1，故[y]=0.
.
由函数g(x)=x+ 在x≥1时是递增的和0≤α<1得

综上所述，f(x, y)的值域为 .
【评述】本例表面上为“二元函数”实为一元函数，因为y= ，消去y后就是关于x的函数了.
II．函数性质的应用
在数学竞赛中，常见的应用函数性质的题目有以下几类：
1．求值、求最值
例4 设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
【思路分析】要抓住函数为奇函数且周期为3进行变形求值.
【略解】对定义在R上的奇函数，必有
f(0)=－f(0),即f(0)=0.
∴f(3)=f(0)=0, f(2)=f(－1+3)=f(－1)=－f(1)=－2.
∴f(2)+f(3)=－2.
例5 设f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，求F(x)在（－∞，0）上的最小值.
【思路分析】应注意F(x)－2是奇函数，这是解题的一条途径.
【略解】令 (x)=F(x)－2=af(x)+bg(x),
易知 (x)为奇函数，且在（0，+∞）上有最大值3.
∴ (x)在（－∞，0）上有最小值－3.
故F(x)在（－∞，0）上的最小值为－1.
【评述】将代数式转化为奇函数的思想十分重要，应注意掌握这种“转化思想”.
例6 设函数f(x), 对任意x, y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0时，f(x)<0且f(1)=－2.
（1）证明：f(x)是奇函数；
（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
【思路分析】因为x∈R，由区间的特殊点，即x=0入手，是解题的出发点.
【略解】（1）令x=y=0,则有
f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),
∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x),
∴f(x)是奇函数.
（2）设x1, x2∈R，且x1< x2,则
f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)+f(x2－x1),
∵x2>x1, ∴x2－x1>0.
由已知得 f(x2－x1)<0,
∴f(x2)<f(x1).故f(x)在R上是减函数.
∴f(x)在[－3，3]上的最大值[f(x)]最大值=f(－3),最小值[f(x)]最小值=f(3).
又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=－6, f(－3)=－f(3)=6.
故f(x)在[－3，3]上的最大值为6，最小值为－6.
【评述】本题中的 “x2=x1+(x2－x1)”是完成证明函数是减函数的证明的主要过程，这一特点读者应有所体会.
2．求函数的解析式
例7 若f(x)=2x－2－xlga为奇函数，求实数a的值.
【思路分析】可由f(x)为奇函数，得到f(－x)=－f(x),构造方程来求a的值.
【略解】∵f(－x)=2－x－2xlga=－(2x－2－xlga)=－f(x),
∴(2x+2－x)－(2x+2－x)lga=0,
即(2x+2－x)(1－lga)=0,
∵2x+2－x>0, ∴1－lga=0,
故a=10.
【评述】利用“函数与方程的思想”来解题依然是本题的主线，但函数是奇函数是出发点。应注意找好每道题解题的出发点.
例8 已知定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.
（1）求证：f(x)为奇函数；
（2）当t>2时，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
【思路分析】由f(x)的定义域为R，从其特殊点，即x=y=0入手来解此题.
【略解】（1）令x=y=0得
f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),
∴f(－x)=－f(x), 即f(x)为奇函数.
（2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的单调函数，故f(x)是R上的单调递增函数.又f(x)是奇函数.
由
得klog2t<log22t－log2t+2,
即log22t－(k+1)log2t+2>0,
∴(k+1)2－8<0,
∴－2 <k+1<2 ,
∴－1－2 <k<－1+2 .
故使不等式恒成立的实数k的范围是（－1－2 ，2 －1）.
【评述】本题（2）为函数不等式，此类题目十分典型，本节后面将专门加以介绍.
针对性训练
1．给定函数f(x)=x2+ax+b,设p、q是满足 p+q=1的实数.
证明：若对于任意的实数x, y均有：pf(x)+qf(x)≥f(px+qy),则0≤p≤q.
2．试证不存在满足下列两个条件的二次多项式f(x):
（1）当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
（2）|f(2)|>8.
3．已知指数函数f(x)=ax(a>0, a≠1)，求满足f(3x2－4x－5)>f(2x2－3x+1)的x的值.
4．设Q为有理数集，求满足下列条件的从Q到Q的函数f:
（1）f(1)=2;
（2）对所有x,y∈Q，有f(x,y)=f(x)f(y)－f(x+y)+1.
5．函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1).如果对于任意不同的x1, x2∈[0，1]，都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|.求证：|f(x2)－f(x1)|< .
6．求方程[x/1!]+[x/2!]+…+[x/10!]=1001的整数解.
7．g: C→C，ω∈C，a∈C, ω3=1, ω≠1.证明有且仅有一个函数f: C→C,满足
f(z)+f(ωz+a)=g(z), z∈C.求出f.