Question

函数Y=ln[x+根号下(x平方+1)],求它的反函数.怎么求?要快！最好简单过程讲解下.

高数

Answer 1

根据反函数的定义，函数y=f(x)为单调连续函数，则它的反函数x=g(y),它也是单调连续的.
   为此我们可给出反函数的求导法则：
   定理：若x=g(y)是单调连续的，且g(y)不等于0,则它的反函数y=f(x)在点x可导，且有：
   f'(x)=1/g'(y).
   注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
   注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
       即：g'(y)是对y求导，f'(x)是对x求导.

函数y=ln[x+√(x^2+1)]=f(x),求它的反函数.
g'(y)=1/f'(x)=1/{[1+(1/2)2x(x^2+1)^(-1/2)]/[x+√(x^2+1)]}=
=[x+√(x^2+1)]/[1+x/√(x^2+1)]=
=[x√(x^2+1)+(x^2+1)]/[√(x^2+1)+x]=
=√(x^2+1),
g(y)=(x/2)√(x^2+1)（+ -）（1/2）ln[x+√(x^2+1)],(此步是套积分公式），
反函数写成传统形式：
y=g(x)=(x/2)√(x^2+1)（+ -）（1/2）ln[x+√(x^2+1)]是y=ln[x+√(x^2+1)]=f(x)的反函数.

Answer 2

解：当对数的底取定以后，对数函数和指数函数互为逆函数。
函数y=ln[x+√(x^2+1)的反函数为：
e^x=[y+√(y^2+1).把x,y对换得所求反函数为：
e^y=x+√(x^2+1).