Question

2.用分析法证明：已知a,b∈R且a≠b,则1／（a²＋1）－1／（b²＋1）的绝对值＜a－b的绝对值。

Answer 1

左边通分整理
即证|(b-a)(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<|a-b|
把|a-b|约分
|(b+a)/(a²+1)(b²+1)|<1
即证|a+b|<(a²+1)(b²+1)
显然a和b同号时|a+b|较大
所以不妨设a>0,b>0
a+b<a²b²+a²+b²+1
a²-a+1/4=(a-1/2)²
b²-b+1/4=(b-1/2)²
所以a²-a+b²-b+1>0
a²b²>=0
所以a>0,b>0时
a+b<a²b²+a²+b²+1成立
若都小于0，绝对值一样

把以上倒推回去即可