Question

求证高数 一道证明题

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Answer 1

因为f(x)在[a,b]连续，所以存在s，t∈[a,b]，
使得f(s)为f(x)在[a,b]的最小值，f(t)最大值
所以对1≤i≤n，有f(s)≤f(x_i)≤f(t)
所以 n·f(s) ≤ f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≤ n·f(t)
f(s) ≤ [f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)]/n ≤ f(t)
由介值定理，存在ξ∈[min{s,t}, max{s,t}]包含于[a, b]，使得
f(ξ) = [f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)]/n

Answer 2

因为f（x）在[a,b]上连续，所以存在min，max使得
对任意的x属于[a,b],f(x) >= min,f(x) <= max;
所以n * min =< f(x1) + …… +f(xn) <= max
即 min =< (f(x1) + …… +f(xn) )/n<= max
即存在f(δ) = (f(x1) + …… + f(xn))/n

Answer 3

拉格朗日定理

Answer 4

解：让f(x1),f(x2)……f(xn)重新排列成f(b1)≤f(b2)≤……≤f(bn)
那么1/n×[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]=1/n×[f(b1)+f(b2)……f(bn)]
而大于等于1/n×[f(b1)+f(b1)……f(b1)]=f(b1)
而小于等于1/n×[f(bn)+f(bn)……f(bn)]=f(bn)
所以[x1,xn]必然存在ξ,使得
f(b1) ≤f(ξ)=1/n×[f(x1)+f(x2)+……f(xn)]≤f(bn)
即 如命题所明。