Question

已知f(x)满足f(loga x)=a/a^2-1(x-x^(-1)) (a>0,a≠1)

(1)求f(x)解析式并判断其单调性；（2）对定义在（-1，1）上的函数f(x),若f(1-m)+f(1-m^2)＜0求m的取值范围；（3）当x∈（-∞，2）时，关于x的不等式f(x)-4＜0恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

1.f(x)=[a/(a^2-1)](a^x-1/a^x)(a>0且a≠1)
f(-x)=[a/(a^2-1)](a^-x-1/a^-x)(a>0且a≠1)
=[a/(a^2-1)](1/a^x-a^x)
=-[a/(a^2-1)](a^x-1/a^x)
=-f(x)
∴该函数为R上奇函数 ∴该函数在R上为一种单调性
①当a∈(0,1)时
[a/(a^2-1)]<0
令x>0 根据指数函数图象可得(a^x-1/a^x)<0
∴f(x)>0
令x≤0
(a^x-1/a^x)≥0
∴f(x)<0
由此得f(x)为单调递增
②当a∈(1,+∞)时
[a/(a^2-1)]>0
令x>0 根据指数函数图象可得(a^x-1/a^x)>0
∴f(x)<0
令x≤0
(a^x-1/a^x)≤0
∴f(x)>0
由此得f(x)为单调递减
2.第一题证过了
第2小题也是分类讨论写出来很麻烦
就是把f(1-m)=f[-(m-1)]=-f(m-1)这样搞搞下就出来了
但是要注意定义域 因为x∈(-1,1) 所以(1-m),(1-m^2)都要∈(-1,1)
即m∈(0,√2)
答案给你
①当a∈(0,1) 可以解出m∈(-2,1)
和定义域交下就是m∈(0,√2)
②当a∈(1,+∞)时解出来也是一样的
∴m∈(0,√2)
3.f(x)-4＜0，在区间（-∞，2）上恒成立，即f(x)＜4恒成立。
即f(x)的最大值小于4即可。
f(x)增函数，令x=2带入方程，得a*(a^2-a^-2)/(a^2-1)＜4.(注意，其实这里的x=2是取不到的，但可以用到不等式中，只要注意这个边界值是否可以取到即可。若可以取到，则有时候会写成≤某个值的情况。要注意）
解这个不等式……a^2-a^-2,通分，得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)*(a^2+1)/a^2,与下面的式子约掉一个（a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0,解得-√3+2＜a＜√3+2,然后与a＞0且a≠1取交集，得（-√3+2，1）∪（1，√3+2）。