如何学好大学数学分析以及高等代数 5
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大学数学分析
第一,要培养对数学的兴趣。第二,要弄清楚每一个数学的概念,定理,以及定理的适用范围。不仅如此,时常还要把各个概念、定理联系起来,相互推到一下。第三,坚持练习时的数量和质量的结合,用多中方法从不同的角度去解题。从而提高数学的思维能力。
高等数学
高等代数和数学分析、空间解析几何一起,并称为数学系本科生的三大基础课。所谓基础课,顾名思义,就是本科四年学习的所有数学课程,都是以上述三门课作为基础的。因此对一年级新生而言,学好这三门基础课,其重要性不言而喻。另一方面,从高中阶段的“初等数学”过渡到大学阶段的“高等数学”,中间需要一个思维转变和理解进阶的过程。这个过程延续的时间可长可短,完全取决于个人的能力和努力。因此,如何通过学好这三门基础课,尽快跨越这个转变过程,对一年级新生而言,其意思更加重大。
一、将三门基础课作为一个整体去学,摒弃孤立的学习,提倡综合的思考
恩格斯曾经说过:“数学是研究数和形的科学。”这位先哲对数学的这一概括,从现代数学的发展来看,已经远远不够准确了,但这一概括却点明了数学最本质的研究对象,即为“数”与“形”。比如说,从“数”的研究衍生出数论、代数、函数、方程等数学分支;从“形”的研究衍生出几何、拓扑等数学分支。20世纪以来,这些传统的数学分支相互渗透、相互交叉,形成了现代数学最前沿的研究方向,比如说,代数数论、解析数论、代数几何、微分几何、代数拓扑、微分拓扑等等。可以说,现代数学正朝着各种数学分支相互融合的方向继续蓬勃地发展下去。
数学分析、高等代数、空间解析几何这三门基础课,恰好是数学最重要的三个分支--分析、代数、几何的最重要的基础课程。根据课程的特点,每门课程的学习方法当然各不相同,但是如果不能以一种整体的眼光去学习和思考,即使每门课都得了A,也不见得就学的很好。学院的资深教授曾向我们抱怨:“有的问题只要画个图,想一想就做出来了,怎么现在的学生做题,拿来就只知道死算,连个图也不画一下。”当然,造成这种不足的原因肯定是多方面的。比如说,从教的角度来看,各门课程的教材或授课在某种程度上过于强调自身的特点,很少以整体的眼光去讲授课程或处理问题,课程之间的相互联系也涉及的较少;从学的角度来看,学生们大都处于孤立学习的状态,也就是说,孤立在某门课程中学习这门课程,缺乏对多门课程的整体把握和综合思考。
二、正确认识代数学的特点,在抽象和具体之间找到结合点
代数学(包括高等代数和抽象代数)给人的印象就是“抽象”,这与另外两门基础课有很大的不同。以“线性空间”的定义为例,集合V上定义了加法和数乘两种运算,并且这两种运算满足八条性质,那么V就称为线性空间。第一次学高等代数的同学都会认为这个定义太抽象了。其实在高等代数中,这样抽象的定义比比皆是。不过这样的抽象是有意义的,因为可以验证三维欧氏空间、连续函数全体、多项式全体、矩阵全体都是线性空间,也就是说,线性空间是从许多具体例子中抽象出来的概念,具有绝对的一般性。代数学的研究方法是,从许多具体的例子中抽象出某个概念;然后通过代数的方法对这一概念进行研究,得到一般的结论;最后再将这些结论返回到具体的例子中,得到各种运用。因此,“具体--抽象--具体”,这便是代数学的特点。
在认识了代数学的特点后,就可以有的放矢地学习高等代数了。我们可以通过具体的例子去理解抽象的定义和证明;可以将定理的结论运用到具体的例子中,从而加深对定理的理解和掌握;还可以通过具体例子的启发,去发现和证明一些新的结果。因此,要学好高等代数,就需要正确认识抽象和具体的辩证关系,在抽象和具体之间找到结合点。
三、高等代数不仅要学代数,也要学几何,更要在代数和几何之间建立一座桥梁
随着时代的变迁,高等代数的教学内容和方式也在不断的发展。大概在90年代之前,国内高校的高等代数教材大多以“矩阵论”作为中心,比较强调矩阵论的相关技巧;90年代之后,国内高校的高等代数教材渐渐地改变为以“线性空间理论”作为中心,比较强调几何的意义。作为缩影,复旦的高等代数教材也经历了这样一个变化过程,1993年之前采用的屠伯埙老师的教材强调“矩阵论”;1993年之后采用的姚慕生老师的教材强调“线性空间理论”。从单纯重视“代数”到“代数”与“几何”并重,这其实是高等代数教学观念的一种全球性的改变,可能这种改变与现代数学的发展密切相关吧!
学好高等代数的有效方法应该是:
深入理解几何意义、熟练掌握代数方法。
其次,高等代数中很多问题都是几何的问题,我们经常将几何的问题代数化,然后用代数的方法去解决它。当然,对于一些代数的问题,我们有时也将其几何化,然后用几何的方法去解决它。
最后,代数和几何之间存在一座桥梁,这就是代数和几何之间的转换语言。有了这座桥梁,我们就可以在代数和几何之间来去自由、游刃有余。因此,要学好高等代数,不仅要学代数,也要学几何,更要在代数和几何之间建立一座桥梁。
四、学好教材,用好教参,练好基本功
复旦现行的高等代数教材是姚慕生老师、吴泉水老师编著的《高等代数学(第二版)》。这本教材从1993年开始沿用至今,已有近20年的历史。教材内容翔实、重点突出、表述清晰、习题丰富,即使与全国各高校的高等代数教材相比,也不失为出类拔萃之作。
复旦现行的高等代数教学参考书是姚慕生老师编著的《高等代数学习方法指导(第二版)》(因为封面为白色,俗称“白皮书”)。这本教参书是数院本科生必备的宝典,基本上人手一册,风行程度可见一斑。
要学好高等代数,学好教材是最低的要求。另外,如何用好教参书,也是一个重要的环节。很多同学购买教参书,主要是因为教材里的部分作业(包括一些很难的证明题)都可以在教参书上找到答案。当然,这一点无可厚非,毕竟这就是教参书的功能嘛!但是,我还是希望一年级的新生能正确地使用教参书,遇到问题首先自己独立思考,实在想不出,再去看懂教参书上的解答,这样才能达到提高能力、锻炼思维的效果。
第一,要培养对数学的兴趣。第二,要弄清楚每一个数学的概念,定理,以及定理的适用范围。不仅如此,时常还要把各个概念、定理联系起来,相互推到一下。第三,坚持练习时的数量和质量的结合,用多中方法从不同的角度去解题。从而提高数学的思维能力。
高等数学
高等代数和数学分析、空间解析几何一起,并称为数学系本科生的三大基础课。所谓基础课,顾名思义,就是本科四年学习的所有数学课程,都是以上述三门课作为基础的。因此对一年级新生而言,学好这三门基础课,其重要性不言而喻。另一方面,从高中阶段的“初等数学”过渡到大学阶段的“高等数学”,中间需要一个思维转变和理解进阶的过程。这个过程延续的时间可长可短,完全取决于个人的能力和努力。因此,如何通过学好这三门基础课,尽快跨越这个转变过程,对一年级新生而言,其意思更加重大。
一、将三门基础课作为一个整体去学,摒弃孤立的学习,提倡综合的思考
恩格斯曾经说过:“数学是研究数和形的科学。”这位先哲对数学的这一概括,从现代数学的发展来看,已经远远不够准确了,但这一概括却点明了数学最本质的研究对象,即为“数”与“形”。比如说,从“数”的研究衍生出数论、代数、函数、方程等数学分支;从“形”的研究衍生出几何、拓扑等数学分支。20世纪以来,这些传统的数学分支相互渗透、相互交叉,形成了现代数学最前沿的研究方向,比如说,代数数论、解析数论、代数几何、微分几何、代数拓扑、微分拓扑等等。可以说,现代数学正朝着各种数学分支相互融合的方向继续蓬勃地发展下去。
数学分析、高等代数、空间解析几何这三门基础课,恰好是数学最重要的三个分支--分析、代数、几何的最重要的基础课程。根据课程的特点,每门课程的学习方法当然各不相同,但是如果不能以一种整体的眼光去学习和思考,即使每门课都得了A,也不见得就学的很好。学院的资深教授曾向我们抱怨:“有的问题只要画个图,想一想就做出来了,怎么现在的学生做题,拿来就只知道死算,连个图也不画一下。”当然,造成这种不足的原因肯定是多方面的。比如说,从教的角度来看,各门课程的教材或授课在某种程度上过于强调自身的特点,很少以整体的眼光去讲授课程或处理问题,课程之间的相互联系也涉及的较少;从学的角度来看,学生们大都处于孤立学习的状态,也就是说,孤立在某门课程中学习这门课程,缺乏对多门课程的整体把握和综合思考。
二、正确认识代数学的特点,在抽象和具体之间找到结合点
代数学(包括高等代数和抽象代数)给人的印象就是“抽象”,这与另外两门基础课有很大的不同。以“线性空间”的定义为例,集合V上定义了加法和数乘两种运算,并且这两种运算满足八条性质,那么V就称为线性空间。第一次学高等代数的同学都会认为这个定义太抽象了。其实在高等代数中,这样抽象的定义比比皆是。不过这样的抽象是有意义的,因为可以验证三维欧氏空间、连续函数全体、多项式全体、矩阵全体都是线性空间,也就是说,线性空间是从许多具体例子中抽象出来的概念,具有绝对的一般性。代数学的研究方法是,从许多具体的例子中抽象出某个概念;然后通过代数的方法对这一概念进行研究,得到一般的结论;最后再将这些结论返回到具体的例子中,得到各种运用。因此,“具体--抽象--具体”,这便是代数学的特点。
在认识了代数学的特点后,就可以有的放矢地学习高等代数了。我们可以通过具体的例子去理解抽象的定义和证明;可以将定理的结论运用到具体的例子中,从而加深对定理的理解和掌握;还可以通过具体例子的启发,去发现和证明一些新的结果。因此,要学好高等代数,就需要正确认识抽象和具体的辩证关系,在抽象和具体之间找到结合点。
三、高等代数不仅要学代数,也要学几何,更要在代数和几何之间建立一座桥梁
随着时代的变迁,高等代数的教学内容和方式也在不断的发展。大概在90年代之前,国内高校的高等代数教材大多以“矩阵论”作为中心,比较强调矩阵论的相关技巧;90年代之后,国内高校的高等代数教材渐渐地改变为以“线性空间理论”作为中心,比较强调几何的意义。作为缩影,复旦的高等代数教材也经历了这样一个变化过程,1993年之前采用的屠伯埙老师的教材强调“矩阵论”;1993年之后采用的姚慕生老师的教材强调“线性空间理论”。从单纯重视“代数”到“代数”与“几何”并重,这其实是高等代数教学观念的一种全球性的改变,可能这种改变与现代数学的发展密切相关吧!
学好高等代数的有效方法应该是:
深入理解几何意义、熟练掌握代数方法。
其次,高等代数中很多问题都是几何的问题,我们经常将几何的问题代数化,然后用代数的方法去解决它。当然,对于一些代数的问题,我们有时也将其几何化,然后用几何的方法去解决它。
最后,代数和几何之间存在一座桥梁,这就是代数和几何之间的转换语言。有了这座桥梁,我们就可以在代数和几何之间来去自由、游刃有余。因此,要学好高等代数,不仅要学代数,也要学几何,更要在代数和几何之间建立一座桥梁。
四、学好教材,用好教参,练好基本功
复旦现行的高等代数教材是姚慕生老师、吴泉水老师编著的《高等代数学(第二版)》。这本教材从1993年开始沿用至今,已有近20年的历史。教材内容翔实、重点突出、表述清晰、习题丰富,即使与全国各高校的高等代数教材相比,也不失为出类拔萃之作。
复旦现行的高等代数教学参考书是姚慕生老师编著的《高等代数学习方法指导(第二版)》(因为封面为白色,俗称“白皮书”)。这本教参书是数院本科生必备的宝典,基本上人手一册,风行程度可见一斑。
要学好高等代数,学好教材是最低的要求。另外,如何用好教参书,也是一个重要的环节。很多同学购买教参书,主要是因为教材里的部分作业(包括一些很难的证明题)都可以在教参书上找到答案。当然,这一点无可厚非,毕竟这就是教参书的功能嘛!但是,我还是希望一年级的新生能正确地使用教参书,遇到问题首先自己独立思考,实在想不出,再去看懂教参书上的解答,这样才能达到提高能力、锻炼思维的效果。
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认真听,多做题,其实都不难,得静下心来学。 一般都是大一学的,刚去可能会有点浮躁。。。
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据我们名列前茅的同学经验来说,就是抱着书每天泡图书馆,多看书,多做题,多思考!
推荐几本很不错的考研教材吧!
《数学分析题解精粹》钱吉林著
《高等代数考研教案》西北工业大学出版社
推荐的太早了,呵呵~
现在现好好打好基础,把你课后题目老师作业做好,一定学的好的!
加油!
推荐几本很不错的考研教材吧!
《数学分析题解精粹》钱吉林著
《高等代数考研教案》西北工业大学出版社
推荐的太早了,呵呵~
现在现好好打好基础,把你课后题目老师作业做好,一定学的好的!
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