Question

关于圆的一道数学题，急求解！

已知圆O：X^2+Y^2=1，圆C：（X-2)^2+(Y-4)^2=1,由两圆外一点P（a,b)引两圆切线PA,PB,切点分别为A,B，满足|PA|=|PB|。
（1）求a,b间满足的等量关系
（2）求切线长|PA|最小值
（3）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O内切并且与圆C相外切？存在则求出方程。

谢！

Answer 1

(1) a+2b=5
(2) |PA|最小值为2
(3) 不存在
解答；由题意可得，|PA|=|PB|，两个圆的半径相同，可以得到P到两个圆的圆心的距离相等，则有a^2+b^2=(a-2)^2+(b-2)^2,即a+2b=5.由题得到|PA|^2+1=|PO|^2,则|PA|^2=|PO|^2-1，即|PA|^2=a^2+b^2-1,而a+2b=5代入得，
|PA|^2=5b^2-20b+24,当b=2取得最小，此时|PA|^2=4，故|PA|=2
第三题是这样的，由题上可知P点到两圆的圆心的距离相等，假如要满足以P为圆心的圆，使它与圆O内切并且与圆C相外切，就要满足|PO|+1=|PC|-1,而事实上|Po|=|PC|，故不存在这样的圆。