Question

讨论函数f(x)=[a^(x+1) +b^(x+1)]/(a^x+b^x)的单调性

Answer 1

当a=b时，f(x)=a,为常函数，非严格单调递增，也非严格单调递减。

当a≠b时，b/a≠1,根据指数函数定义，a、b均大于0，且均不等于1.
f(x)=[a^(x+1)+b^(x+1)]/(a^x+b^x)（分子分母同除以a^x）
=[a+b(b/a)^x]/[1+(b/a)^x]
={(a-b)+b[1+(b/a)^x]}/[1+(b/a)^x]
=(a-b)/[1+(b/a)^x]+b
f´(x)=(b-a)ln(b/a){(b/a)^x/[1+(b/a)^x]²}>0，所以f(x)严格单调递增
事实上，(b-a)与ln(b/a)同号，所以其积大于0；{}内的部分恒大于0.

所以当a=b时，f(x)非严格单调递增，也非严格单调递减。当a≠b时，f(x)严格单调递增。

Answer 2

f'(x)分母>0
分子=[ln(a)a^(x+1)+ln(b)b^(x+1)](a^x+b^x)-[ln(a)a^x+ln(b)b^x][a^(x+1)+b^(x+1)]

=ln(a)a^(2x+1)+ln(a)a^(x+1)b^x+ln(b)a^xb^(x+1)+ln(b)b^(2x+1)
-ln(a)a^(2x+1)-ln(a)a^xb^(x+1)-ln(b)a^(x+1)b^x-ln(b)b^(2x+1)

=ln(a)a^xb^x(a-b)+ln(b)a^xb^x(b-a)
=a^xb^x[ln(a)(a-b)+ln(b)(b-a)]
于x无关

所以x单调
[ln(a)(a-b)+ln(b)(b-a)]>0时，单调增
[ln(a)(a-b)+ln(b)(b-a)]<0时，单调减

Answer 3

令t=b\a f(x)=(a+b*t^x)\(1+t^x)=b+(a-b)\(1+t^x)
默认a，b>0 当b>a t>1 f(x)为增函数
当b<a t<1 f(x)为增函数
f(x)为增函数

Answer 4

对f（x）求导，大于0单增，小于0反之。
此题需要讨论a，b的比值情况。