Question

等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点P在AC上

将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ。
当点P在线段AC上运动时（P不与A重和），请写出一个反应PA²，PC²，PB²之间关系的等式，并说明理由。

Answer 1

结论：PA^2+PC^2=2PB^2;

证明：

连接PQ;

∵△ABQ≌△CBQ;

∴PB=QB; PA=QC;∠ABP=∠CBQ;∠BCQ=∠BAC=∠BCA=45°；

∴∠ABP+∠CBP=∠CBQ+∠CBP;

∴∠PBQ=∠ABC=90°；

∴PQ^2=PB^2+QB^2=2PB^2;

∵∠QCA=∠BCQ+∠BCA=90°；

∴PQ^2=PC^2+QC^2=PC^2+PA^2;

∴PA^2+PC^2=2PB^2

Answer 2

∵△ABQ≌△CBQ;
∴PB=QB; PA=QC;∠ABP=∠CBQ;∠BCQ=∠BAC=∠BCA=45°；
∴∠ABP+∠CBP=∠CBQ+∠CBP;
∴∠PBQ=∠ABC=90°；
∴PQ^2=PB^2+QB^2=2PB^2;
∵∠QCA=∠BCQ+∠BCA=90°；
∴PQ^2=PC^2+QC^2=PC^2+PA^2;
∴PA^2+PC^2=2PB^2