Question

在等腰直角三角形abc中bac=90,ab=ac,如图一点d,e分别是ab,ac的中点，af垂直b

在等腰直角三角形abc中bac=90,ab=ac,如图一点d,e分别是ab,ac的中点，af垂直be交bc于点f,连接ef,cd交于点h,求证ef垂直cd

Answer 1

证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，
∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，
∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°，
∴∠1=∠2
又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC
在△ABE和△CAM中，
∠1＝∠2
AB＝AC
∠BAC＝∠ACM＝90°
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠5=∠M
∵AE=EC
∴EC=CM
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°
∴∠4=90-45°=45°=∠ACF
在△EFC和△MFC中，
EC＝MC
∠4＝∠ECF
CF＝CF
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠6=∠M
∴∠6=∠5
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点
∴AD=AE
在△ABE与△ACD中，
AB＝CA
∠BAE＝∠CAD
AE＝AD
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠3
∴∠3+∠6=90°
∴∠EHC=90°
∴EF⊥CD．

Answer 2

过C作CM⊥AC交AF的延长线于M
易证：△FEC≌△FMC，△AMC≌△BEA≌△CDA
∴∠M＝∠FEC＝∠AEB，∠ABE＝∠ACD
∵∠ABE＋∠AEB=90º
∴∠FEC+∠ACD=90º
∴CD⊥EF