Question

分段函数间断点导数怎么求？必须用定义法求左右导数吗？太麻烦了。

Answer 1

当然不是，只要一个区间上的函数可以光滑延拓到区间外，那么区间端点上的单侧导数可以不用定义来算。
比如说x<a时y=f(x)=1/(x-a), x>=a时y=g(x)=2x+1
对于这种情况，根据函数表达式先尝试把f和g在a的附近延拓一下，可以发现x=a是f(x)的间断点，这里的左导数要另外算；但是x=a不是g(x)的间断点，完全可以直接按表达式来求右导数。

补充
To xiongxionghy:
学习和应付考试是两码事。我们的教育制度已经把考试形式搞坏了，你就不要再鼓励学生学习的时候只想着应付考试了。学习的目的是为了掌握知识，并且只要真正搞懂了就不会思路不明确，也不容易出现“万一判断错了”这样的情况，自然也会知道怎么应付低水平的阅卷者。
关于这个问题，我知道楼主肯定不了解“解析延拓”的概念，所以只给一个很粗略的讲法并带一个例子，让他自己去体会。

Answer 2

分开求是肯定的，再看左右导数是否相等。
电灯剑客的说法也是对的，但我不推荐。还是用导数定义来做比较好。思路明确，不易出错。
因为“光滑延拓”需要先做判断，万一判断错了就麻烦了，而且老师阅卷时一般都按主流思路阅卷，万一老师不仔细看，就觉得你思路跟答案不一样，会直接打叉的。特别是考研这种大型考试，考的人多，老师阅卷超快，很容易直接给个叉叉！

Answer 3

你是指distribution吗

其中会遇到一个fonction Dirac
对间断点的导数在 信号处理里面这是蛮简单的问题

Answer 4

是的