Question

设函数f(X)=lnx-1/2ax^2-bx

1.当a=b=1/2时，求f（x）的最大值
2.另F(x)=f（x)+1/2ax^2+bx+a/x (0＜x≤3） 以其图像上任意一点P(x0，y0）为切点的斜率k≤1/2恒成立，求实数a的取值范围
3.当a=0，b=-1时，方程2mf(X)=x^2有唯一实数解，求正数m的值。

Answer 1

1.f(x)=lnx-1/4 x^2-1/2 x ,x>0
求导得f'(x)=1/x-1/2 x-1/2;f''(x)=-1/x^2-1/2<0，所以f'(x)单调递减；
令f'(x)=0，解得x=1。所以f'(x)在(0,1)大于0,在(1,正无穷)小于0;
所以f(x)在(0,1)单调递增,在(1,正无穷)单调递减;所以最大值在x=1取得,f(1)=-3/4
2.F（x）=a/x,F'(x)=-a/x^2≤1/2,所以a>=-x^2/2，g(x)在(0,3]最大值0，所以a>=3.
3.f(x)=lnx+x,x>0。
2m(lnx+x)=x^2有唯一解.