Question

高等数学等价无穷小的问题！

ln(sinx / 4+x ) 求极限，当x——>0 时，可以直接用sinx～x 吗？

如果可以，ln(sinx / 4+x ) = ln sinx - ln(x+4) 这样是和差形式，这么说不能用等价无穷小替换了。可是，ln(sinx / 4+x ) 是乘除形式，按理说又可以用等价无穷小替换了。

到底是怎么一回事？谢谢！
是否对于 lim ln(sinx / 4+x ) = ln lim(sinx /(4+x) )= ln lim(x/ (4+x) ) = ln 0 = - 无穷大

对于 ln sinx - ln(x+4) 若拆开分别求lnsinx 和 ln(x+4)，有一项是 负无穷大，所以必须合并成一项再求极限，因此又变成了lim ln(sinx / 4+x )？

先谢谢回答的各位朋友！

Answer 1

可以。只是你后面的运算错了，稍等，我给你一个图片。

Answer 2

不可以的.乘除形式说的是一个函数与一个函数的乘除.ln(sinx / 4+x )是一整个函数.所以不可以

lim(x->0)ln(sinx / 4+x ) = lim(x->0)[ln sinx - ln(x+4)]
因为 lim(x->0)[ln(x+4)]=ln4, lim(x->0)ln sinx =-无穷
所以
lim(x->0)ln(sinx / 4+x ) = lim(x->0)[ln sinx - ln(x+4)]=-无穷

Answer 3

总体来讲，替换的原则是使得极限有意义，并且不产生不定型。不要简单地去替换，而要理解你做的每一步的原理。
1.把ln(sinx/(4+x))看作复合函数f(y)=ln(y),y=g(x)=sinx/(4+x)，利用f的连续性可以对f和g分别求极限，对于g(x)而言，乘除形式的一定可以替换(不是说加减不可以)。
2.ln(sinx/(4+x))=lnsinx-ln(x+4)，对两项分别求极限不会产生不定型，所以可以拆开(注意，lim(a+b)不是永远可以拆成lim a + lim b的！)，然后所谓的替换也只不过是对复合函数取极限。

另：
1.楼主写的sinx / 4+x 我暂且按照sinx/(4+x)来理解，以后写的时候要注意优先级。
2.一楼给的计算方法我想楼主应该都会，关键是要想清楚每一步的道理。而且楼主也不见得会犯解法3的错误。

补充：
1.因为ln连续，所以可以把极限放进去，就是你补充里面的第一行
2.拆两项之后一项是负无穷，另一项有限，所以不是不定型，可以拆。

Answer 4

必须是0/0型的