Question

设函数f(x)=x^2+|2x-a| (x∈R，a为实数)

设函数f(x)=x^2+|2x-a| (x∈R，a为实数)
（1）若f(x)为偶函数，求实数a的值
（2）设a＞2，求函数f(x)的最小值

已知a为实数，f(x)=a-2/(2^x+1) (x∈R）
当f(x)是奇函数时，若方程f^-1(x)=log2 (x+t)总有实数根，求实数t的取值范围

Answer 1

（1）f（x）=f（-x）即|2x-a|=|2x+a|,a=0;
(2)分段，x>=a/2时，f（x）=x^2+2x-a，对称轴为-1，所以x=a/2时取得最小值为a^2/4,
x<a/2时，f（x）=x^2-2x+a，x=1时取得最小值为a-1
令a^2/4=a-1，推得a=2，现在a>2,所以a-1<a^2/4,所以最小值为a-1，x=1时取得

（3）f（x）=-f(-x），推得a=1，f^-1(x)=log2 （2/(1-x)-1) -1 <x<1
2/(1-x)-1=(x+t)推得：
x^2+tx+1-t=0在（-1，1）上有实数解，从函数图像上进行讨论
令g（x）=x^2+tx+1-t，g(-1)*g(1)<=0且△>0,推得t>=1;
还有一种情况：g(-1)>0,g(1)>0,△>=0,-1<-t/2<1,推得t∈（-2+2根号2，1)
综上，t范围为： t∈（-2+2根号2，+∞)

Answer 2

（1）若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)
得|2x-a|=|-2x-a|
得a=0
（2）a>2
当x>=a/2时
f(x)=x^2+|2x-a| =x^2+2x-a=(x+1)^2-a-1
当x=a/2时f（a/2）=a^2/4

当x<a/2时
f(x)=x^2+|2x-a| =x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1
当x=1时f(1)=a-1

由于f(a/2)-f(1)=a^2/4-（a-1）=(a-2)^2>0

函数f(x)的最小值为f(1)=a-1