Question

已知函数f(x)的定义域是(0,正无穷),当x>1时,f(x)>0,且f(xy)=f(x)+f(y)

(1)证明f(x)在定义上是增函数
2）如果f（2）=1/2求满足不等式f（1/x-2）＞1的x取值范围

Answer 1

答：
f(x)定义在x>0；x>1时，f(x)>0；f(xy)=f(x)+f(y)
1）设x=y=1：
f(1)=f(1)+f(1)，f(1)=0
设x>y>0，x/y>1，f(x/y)>0
所以：
f(x)-f(y)=f(y*x/y)-f(y)
=f(y)+f(x/y)-f(y)
=f(x/y)>0
所以：f(x)>f(y)
所以：f(x)在定义域内是增函数
2）f(2)=1/2
f(1/x-2)>1=f(2)+f(2)=f(4)
1/x-2>4
1/x>6
0<x<1/6

Answer 2

满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)，又当x>y时，f(x)>f(y)
当x=1,y=1时候
f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1)
==>f(1)=0
当x=y=2时候
f(2*2)=f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2
f(x)的定义域为(0,正无穷),又当x>y时，f(x)>f(y)
所以f(x)在定义域内是单调递增函数
又f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3))<=f(4)
必有
x*(x-3)<=4
==>
x^2-3x-4<=0
==>(x-4)(x+1)<=0
==>
4>=x>=-1
因为f(x),定义域为x>0
则f(x-3)定于域为x>3.综合4>=x>=-1
所以x范围是
4>=x>3

Answer 3

令x=y=1得f(1)=0,
令x1>x2>1,f(x1)-f(x2)=f(x2)+f(x1/x2)-f(x2)=f(x1/x2)>0,所以当x>1时，f(x)为增函数，又因为1+x2,x2-2x+3都大于1，所以可得x2-2x+3>x2+1,得x<1