Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x 且f（0）=1

1求f（x）的解析式
2当x∈【-1，1】时 不能使f（x）＞2x+m恒成立 求实数m的范围
主要是第2问

Answer 1

(1).设f（x）=ax²+bx+c.
∵f(0)=1.∴c=1
∴f（x+1）-f（x）=a(x+1)²+b(x+1)+1-ax²-bx-1=2x
∴2ax+a+b=2x.
∴2a=2、a+b=0
解得a=1 b=-1.
∴f（x）=x²-x+1
（2）.画出f（x）=x²-x+1，易知对称轴x=1/2,ymin=3/4.
将ymin=3/4代入2x+m中得2*（1/2）+m=3/4，得m=-1/4.
此时，2x+m过x²-x+1的顶点，推理可知当m≥-1/4时不能使f（x）＞2x+m恒成立.
∴m≥-1/4

(如果错了请见谅。）

Answer 2

令x=0，-1，带入等式；得到两个方程，解得f（1）=f（-1）=3，此时，二次函数的三个点已知，利用三点式，解出a，b，c即可得到函数的具体表达式，第二道题可用画图法解得

Answer 3

f(x)=x方-x+1 m<-1