Question

求函数y=sinx-cosx+sinx*cosx的值域

Answer 1

解令sinx+cosx=t
则2sinx*cosx=(sinx+cosx)^2-1=t^2-1
则sinx*cosx=（t^2-1)/2
即y=sinx+cosx+sinx*cosx=(t^2-1)/2+t=1/2(t+1)^2-1
又由t=sinx+cosx
=√2（√2/2sinx+√2/2cosx）
=√2sinx(x+π/4)
∴t∈[-√2,√2]
所t=-1时，y有最小值-1
t=√2时，y有最大值2+√2
y=sinx+cosx+sinx*cosx的值域为 -1≤y≤2+√2 .

追问

是sinx-cosx。不是sinx+cosx

追答

解令sinx-cosx=t
则2sinx*cosx=-(sinx-cosx)^2+1=-t^2+1
则sinx*cosx=（-t^2+1)/2
即y=sinx-cosx+sinx*cosx=(-t^2+1)/2+t=-1/2(t-1)^2+1
又由t=sinx+cosx
=√2（√2/2sinx-√2/2cosx）
=√2sinx(x-π/4)
∴t∈[-√2,√2]
所t=1时，y有最大值1
t=-√2时，y有最小值-1/2-√2
y=sinx+cosx+sinx*cosx的值域为 -1/2-√2≤y≤1.