Question

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小 （1）求∠ADE的度数（2）在BD上画出点P的位置，求△PCE周长的最小值。

Answer 1

⑴、∵∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60°
∴△ADB与△DCB都是等边△﹙有一个角=60°的等腰△是等边△﹚
而DE是等边△DCB的中线，
∴DE⊥BC，∴∠BDE=30°
∴∠ADE=90°
⑵、连接AC，AE，则AE与DB相交于P点，
这时候的P点，使△PCE的周长最小；
证明：连接CP，
∵AC与DB互相垂直平分，
∴PA=PC，
∴△PCE的周长=PC＋PE＋CE=PA＋PE＋CE=AE＋CE
∵CE是定值，
∴由两点之间，线段最短公理得到PC＋PE=AE。
⑶、∵∠CDE=30°
∴∠ADE=120°－30°=90°
∴由勾股定理得：DE=2√3
再由勾股定理得：AE²=AD²＋DE²=28
∴AE=2√7
∴△PCE的最小周长=2＋2√7

追问

不要抄袭百度上的

百度上的是错的

追答

等等我在算

追问

嗯嗯，谢谢

追答

1 问没错
2 以BD为对称轴，做E的对称点E′，连接E′C,交BD于P，此时不确定E是否落在AB上
连接PE,PC，△PCE的周长最小。
因为两点之间距离最短
由于E点和E′对称
∴∠DBE′=∠DBC =60
∵菱形∠OBA=∠DBC=60
∴∠DBE′=∠DBE
E′在AB直线上
BE=BE′=EC=1/2AB=1
余弦定理得E′C²=BC²+BE′²-2BC×BE′×cos∠ABC
=4+1-2×2×1×(-1/2)
=7
E′C=√7
∴△PCE的周长
=EC+PE+PC
=EC+E′C
=1+√7

追问

我们没有学余弦定理只学了勾股定理

追答

BE=BE′=EC=1/2AB=1

由C向AB作垂线交AB延长线于M

△CBM

CM=√3 BM=1

E'M=1+1=2
勾股定理 △CBE'
CE'= √7
△PCE的周长
=EC+PE+PC
=EC+E′C
=1+√7

追问

做得对不对?

追答

恩，肯定对啦，能看懂吗

追问

可以，thanks

Answer 2

（1）∠ADE=90°
因为菱形，且∠ABC=120°
所以∠A=60°，△BDC是等边三角形
因为E是BC中点
所以∠DEB=90°
所以∠ADE=90°
(2) 联结AE交BD于P，联结PC
因为A是C关于BD的对称点
所以PA=PC
PCE周长=PC+PA+CE=PA+PE+CE
因为CE=1，PA+PE=AE
所以，PCE周长=AE+1
延长AB，由E向AB作垂线交AB延长线于Q
因为∠ABC=120°
所以∠EBQ=60°
因为BE=1
所以QE=二分之根号三，BQ=二分之一
在三角形AEQ中，由勾股定理，AE=根号7
所以，PCE周长=1+根号7

追问

你确定是对的吗？

追答

确定啊。。。

追问

在吗

追答

嗯。什么事？

追问

一块高40cm，宽30cm,厚10cm的石块，其质量为30kg,竖直在地面上，若按图的方向推，最小推力为多少？