Question

分别以直角三角形ABC的斜边AB，直角边AC为边向三角形ABC外作等边三角形ABD和等边三角形AC

分别以直角三角形ABC的斜边AB，直角边AC为边向三角形ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，角ACB=90度，角BAC=30度，给出下别结论正确的是：（1）EF丄AC（2）四边形ADFE为菱形（3）AD=4AG（4）FH=1\4BD

Answer 1

题中正确的结论是：（1）EF丄AC  （3）AD=4AG     （4）FH=1\4BD

理由：（简证）

（1）延长AE交BC的延长线于K

则 ∠K=30°           ∠ECK=30°

∴EK=EC    

而EC=EA

 ∴EA=EK

AF=FB

 ∴ EF∥KB            而KB丄AC

∴EF丄 AC

（3）∵ ∠DAC=90°          ∠ACB=90°

∴AD∥CB               又EF∥CB 

∴AD∥EF                且EF=1/2KB          AD=AB=1/2KB

∴AD=EF

∴AEFD是平行四边形

∴AG=GF           AG=1/2AF           AG=1/4AB

而AB=AD

∴AG=1/4AD            即AD=4AG

（4）∵FH=1/2BC          BC=1/2AB

∴FH=1/4AB          而AB=BD

∴FH=1/4BD

▲至于（2）四边形ADFE为菱形——肯定错误的

因为平行四边形AEFD的两条邻边AE和AD不等，一条等于

直角边AC，而另一条等于斜边AB，直角边不可能等于斜边。

Answer 2

分别以直角三角形ABC的斜边AB，直角边AC为边向三角形ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与
AC交于点H，角ACB=90度，角BAC=30度，给出下别结论正确的是：（1）EF丄AC，
（3）AD=4AG，（4）FH=1\4BD

（1）EF丄AC（2）四边形ADFE为菱形（3）AD=4AG（4）FH=1\4BD