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证明1,
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC(平行四边形的对边平行且相等)
∴∠ADB=∠CBD(内错角相等)
∵AE⊥BD,CF⊥BD(已知)
∴∠AED=∠CFB=90度
∴∠DAE=∠BCF(两直角三角形的一个锐角相等,则另一个锐角也相等)
∵G、H分别是AD、BC中点(已知)
∴EG=AG=(1/2)AD, FH=CH=(1/2)BC(直角三角形斜边中点到三顶点距离相等)
∴EG=FH
∴∠GEA=∠GAE,∠HEF=∠HCF(三角形中,等边对应的角也相等)
∴∠GED=∠HFB(等量减去等量,差相等)
∴EG∥FH(内错角相等,两条直线平行)
证明2
∵ABCD为平行四边形(已知)
∴⊿ABD旋转180度后,与⊿CDB重合(平行四边形性质)
∵AE⊥BD,CF⊥BD,且G、H分别是AD、BC的中点(已知)
∴EG、FE是两⊿ABD、⊿CDB中的两条对应的线段
∴EG∥FH,EG=FH(线段旋转180度后,与原线段平行且长度相等)
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC(平行四边形的对边平行且相等)
∴∠ADB=∠CBD(内错角相等)
∵AE⊥BD,CF⊥BD(已知)
∴∠AED=∠CFB=90度
∴∠DAE=∠BCF(两直角三角形的一个锐角相等,则另一个锐角也相等)
∵G、H分别是AD、BC中点(已知)
∴EG=AG=(1/2)AD, FH=CH=(1/2)BC(直角三角形斜边中点到三顶点距离相等)
∴EG=FH
∴∠GEA=∠GAE,∠HEF=∠HCF(三角形中,等边对应的角也相等)
∴∠GED=∠HFB(等量减去等量,差相等)
∴EG∥FH(内错角相等,两条直线平行)
证明2
∵ABCD为平行四边形(已知)
∴⊿ABD旋转180度后,与⊿CDB重合(平行四边形性质)
∵AE⊥BD,CF⊥BD,且G、H分别是AD、BC的中点(已知)
∴EG、FE是两⊿ABD、⊿CDB中的两条对应的线段
∴EG∥FH,EG=FH(线段旋转180度后,与原线段平行且长度相等)
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证明:如图,连接GH交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB=CD,AB∥CD.
∵G、H分别是AD、BC的中点,
∴GH∥AB∥CD,
∴GO=
1
2
AB,HO=
1
2
CD,
∴GO=HO.
∵AB∥CD,
∴∠1=∠2,
由∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∴在△ABE与△CDF中,
∠AEB=∠CFD
∠1=∠2
AB=CD
,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
∴四边形GEHF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB=CD,AB∥CD.
∵G、H分别是AD、BC的中点,
∴GH∥AB∥CD,
∴GO=
1
2
AB,HO=
1
2
CD,
∴GO=HO.
∵AB∥CD,
∴∠1=∠2,
由∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∴在△ABE与△CDF中,
∠AEB=∠CFD
∠1=∠2
AB=CD
,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,
∴四边形GEHF是平行四边形.
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