Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F。

求证：四边形GEHF是平行四边形

Answer 1

证明1，
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠ADB=∠CBD（内错角相等）
∵AE⊥BD，CF⊥BD（已知）
∴∠AED=∠CFB=90度
∴∠DAE=∠BCF（两直角三角形的一个锐角相等，则另一个锐角也相等）
∵G、H分别是AD、BC中点（已知）
∴EG=AG=(1/2)AD， FH=CH=(1/2)BC（直角三角形斜边中点到三顶点距离相等）
∴EG=FH
∴∠GEA=∠GAE，∠HEF=∠HCF（三角形中，等边对应的角也相等）
∴∠GED=∠HFB（等量减去等量，差相等）
∴EG∥FH（内错角相等，两条直线平行）
证明2
∵ABCD为平行四边形（已知）
∴⊿ABD旋转180度后，与⊿CDB重合（平行四边形性质）
∵AE⊥BD，CF⊥BD，且G、H分别是AD、BC的中点（已知）
∴EG、FE是两⊿ABD、⊿CDB中的两条对应的线段
∴EG∥FH，EG=FH（线段旋转180度后，与原线段平行且长度相等）

Answer 2

证明：如图，连接GH交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AB∥CD．
∵G、H分别是AD、BC的中点，
∴GH∥AB∥CD，
∴GO=
1
2
AB，HO=
1
2
CD，
∴GO=HO．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
由∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∴在△ABE与△CDF中，

∠AEB＝∠CFD
∠1＝∠2
AB＝CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
∴四边形GEHF是平行四边形．