Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E﹑F，G﹑H分别是AD﹑BC中点.

求证：EG＝FH,EG∥FH.

Answer 1

证明：
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AED＝∠CFB＝90
∴△AED≌△CFD （AAS）
∴DE＝BF
∵G是AD的中点，H是BC的中点
∴DG＝AD/2,BH＝BC/2
∴DG＝BH
∴△DGE≌△BHF （SAS）
∴EG＝FH，∠DEG＝∠BFH
∴EG∥FH

Answer 2

证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD，AB=CD，∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∵M，N分别是AD，BC的中点
∴BN=DM
∵∠NBE=∠MDF
∴△NBE≌△DMF
∴EN=MF
∵EM=1/2AD FN=1/2BC(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)
∴ME=NF
∴四边形MENF是平行四边形
∴EG=FH,EG//FH

Answer 3

证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AED＝∠CFB＝90度
∴△AED≌△CFD
∴DE＝BF
∵G是AD的中点，H是BC的中点
∴DG＝1/2AD=1/2BC=BH
又∠ADB＝∠CBD
∴△DGE≌△BHF
∴EG＝FH，
∠DEG＝∠BFH
故EG∥FH