Question

已知sina，cosa是关于方程x²-ax+a=0的两根(a∈R) (1)求sin³a+

已知sina，cosa是关于方程x²-ax+a=0的两根(a∈R) (1)求sin³a+cos³a的值！ 怎么写，过程与结果！

Answer 1

sina+cosa=a，sinacosa=a，

(sina+cosa)²=1+2sinacosa，

a²=1+2a，解得：a=1±√2

又sina+cosa=√2sin(a+45°）≤√2，故a=1-√2

从而：sina+cosa=1-√2，sinacosa=1-√2，

sin³a+cos³a=（sina+cosa)²-2sinacosa=（1-√2）²-2（1-√2）=1+2√2

Answer 2

解：由sina，cosa是关于方程x²-ax+a=0的两根得：sina+cosa=a，sinacosa=a，
又(sina+cosa)²=1+2sinacosa，所以：a²=1+2a，解得：a=1-√2或a=1+√2，
因为sina+cosa=√2sin(a+45°）≤√2，故：a=1-√2，从而：sina+cosa=1-√2，sinacosa=1-√2，
所以：sin³a+cos³a=（sina+cosa)(sin²a-sinacosa+cos²a)=（1-√2)[1-(1-√2)]
=(1-√2)√2=-2+√2

Answer 3

根据韦达定理,两根之和sina+cosa=-b/a,两根之积sina*cosa=c/a，由题即为：sina+cosa=a，sina*cosa=a,可得：sina^2+cosa^2=a^2-2a.又由(sina+cosa)^2=1+2sinacosa得：a^2=1+2a,解得a=1-√2或a=1+√2，又sina+cosa=√2sin(a+45°）≤√2，故a=1-√2.

则有：(a+b)(a^2-ab+b^2)sin³a+cos³a=(sina+cosa)(sina^2-sinacosa+cosa^2)=(1-√2)√2=√2-2.