Question

如图，直角梯形ABCD中，ABǁDC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6，动点M以每秒1

如图，直角梯形ABCD中，ABǁDC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线lǁAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q，点M运动的时间为t（秒）。
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形
∴CF=4，AF=2，
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF
∴QM/AM=CF/AF
QM/0.5=4/2
∴QM=1
（2）∵∠DCA为锐角，故有两种情况：
①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，
此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2内
②当∠PQC=90°时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA
∴EQ/PE=MA/QM
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2
∴（4-2t）/（2t-2）=1/2
t=5/3
（3）CQ/RQ为定值
当t＞2时，如备用图2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四边形AMQP为矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴CQ/RQ=BC/AB=(4√2)/6=（2√2）/3
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施主，我看你骨骼清奇，器宇轩昂,
乃是万中无一的武林奇才.
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追问

请问第二题的第一小题中t+t=2是怎么得出来的

追答

DE+CP=CD 有这个推断的

追问

哦，谢谢，我懂了