Question

已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0）的图像如图所示，有下列5个结论： ①acb<0 ;②b²-4ac>0;

③ax²+bx+c的另一个根在2和3之间；④2c<3b;⑤a+b>m(am+b),(m≠1得实数)其中正确的结论有

Answer 1

解：
⑴因为抛物线开口向下，所以a<0,
又对称轴为x=-b/2a=1,所以b=-2a>0,
从图上看出抛物线与y轴交点（0,c)的纵坐标c>0，
所以abc<0，① 对
⑵抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²－4ac＞0，②对
⑶抛物线与x轴的两个交点，一个交点在﹣1和0之间，
又对称轴x＝1，所以另一个交点在2和3之间，所以③对
⑷因为a=-1/2b，又a-b+c<0,所以2c<3b，④对
⑸因为当m=1时，二次函数有最大值，
当m≠1时，
有a＋b＋c＞am²bm＋c，
所以a＋b＞m﹙am＋b﹚,⑤对

Answer 2

由图像得a＜0，c＞0
-b/2a=1
即 b=-2a＞0
所以abc＜0
即①正确

由图像得方程ax²+bx+c=0(a≠0）有两个不同的实数根，
所以b²-4ac>0即②正确

由图像得方程ax²+bx+c=0(a≠0）的一个实数根在-1和0之间
因为对称轴为x=1
所以另一个根在2和3之间
即③正确

由图像可知x=-1时，y=a-b+c<0
将b=-2a代入a-b+c<0，得c<-3a，即2c<-6a
而b=-2a，得3b=-6a
所以2c<3b=-6a
所以④正确

将b=-2a代入a+b，m(am+b)，
得a+b=a-2a=-a，m(am+b)=m(am-2a)=a(m²-2m)
所以m(am+b)-（a+b）=a(m²-2m)+a=a(m²-2m+1)=a(m-1)²
因为m≠1，a＜0
所以a(m-1)²＜0，即m(am+b)-（a+b）＜0
a+b＞m(am+b)
所以⑤正确

综上所述正确的结论有①②③④⑤

Answer 3

开口向下,a<0
对称轴为x=1=-b/(2a),得b=-2a>0
在y轴的截距为c>0
所以abc<0, 1正确

由两零点，所以判别式>0,所以2正确

一个根在(-1,0),由对称轴在x=1,另一根在(2,3), 所以3正确

a=-b/2, 得y=-b/2x²+bx+c
当x=-1时，y<0,即-b/2-b+c<0,得2c<3b, 所以4正确

将b=-2a代入a+b>m(am+b)得：
a-2a>m(am-2a)
-a>ma(m-2)
因a<0,得：-1<m(m-2)
m²-2m+1>0
(m-1)²>0
因m≠1，所以上式成立
倒推即知道5正确

所以1，2，3，4，5结论都是正确的。