Question

已知点M(3,2),N(1,-1),点P在y轴上,且PM+PN最短,求点P的坐标.

Answer 1

M关于y轴的对称点 Q(-3,2)
则PM=PQ
所以就是PQ+PN最小值

Q和N在y轴两侧
由三角形两边之和大于第三边
则PQ+PN≥QN
所以最小时P是QN和y轴交点

QN是y=kx+b
则2=-3k+b
-1=k+b
所以k=-3/4,b=-1/4
所以P(0,-1/4)

Answer 2

用对称法。
选M关于y轴的对称点M1（-3，2）则始终有PM=PM1，所求的PM+PN=PN+PM1
只要连结PM1与Y轴相交的交点即为所求。PM1的直线为y+1=-3/4(x-1),令x=0,得
P（0，-1/4）

Answer 3

由于两点在同侧可以用对称法。
选M关于y轴的对称点Q（-3，2）则有PM=PQ，所求的PM+PN=PN+PQ
连结PQ与Y轴相交的交点即为所求。PQ的直线为y+1=-3/4(x-1),令x=0,得
P(0，-1/4)