Question

如图,已知AB是○O的弦,OB=2

如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD． (1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数； (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

解：（1）作OE垂直于AB，垂足为E，
因为 角B=30度，
所以 OE=OB/2=1，BE=（根号3）OE=根号3，
因为 OE垂直于AB于E，
所以 AB=2BE=2根号3。
（2）连结AO，
因为 OD=OA=OB，
所以 角DAO=角D=20度，
角BAO=角B=30度，
所以 角A=角DAO+角BAO=50度，
所以 角BOD=2角A=100度。
（3）当AC=AB/2=根号3时，三角形ACD相似于三角形BCO。
证明：因为 AC=AB/2，
所以 OC垂直于AB，即：CD垂直于AB，
三角形ACD和三角形BCO都是直角三角形，
因为 角B=30度，
所以 角BOC=60度，角BOD=120度，
所以 角A=角BOD/2=60度，
所以 角A=角BOC，
所以 三角形ACD相似于三角形BCO。

追问

第三问还有其他解法吗？这样解有几部看不懂！！

追答

那几部还看不懂？第三问的其他解法我也没有去想，不知道还有没有。

Answer 2

(1)AB=2|OB|COS∠B=2*2*√3/2=2√3.
(2）连OA。∠D=∠OAD=20度。∠B=∠OAC=30度。∴∠AOD=140度，∠AOB=120度 ∴∠BOD=360-度140度-120度=100度
（3）当∠D＝30°=∠B时，∠AOC=60度，此时∠BOC=60度，此时C为AB中点。AC的长度为2√3/2=√3。以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。