Question

数学问题： 0.99999……(循环) = 1？ 1÷3=0.33333……， 0.33333……

数学问题：
0.99999……(循环) = 1？
1÷3=0.33333……，
0.33333……×3=0.99999……！！！
？？？？？？？？？……
个人认为还是0.99999…… ≠ 1，请解释说明。

Answer 1

无限循环小数（或者无限不循环小数）是一个数学概念，在宏观世界里不可能出现（你可以近似理解为海森堡测不准原理）。所以要拿来做比较，是没有意义的。真要比较只能从数学概念上来说明。不要想当然地用“想象”来“证明”，毕竟那是不可想象的，“0/0”知道吗？“∞/∞”呢？

 

比如反比例函数

在x逐渐增加的过程中f(x)>0恒成立，也就是f(x)=0无解，但当x=∞时就不一样了，因为根本就想象不了！你所能想到的那都是一个确切的数（不是吗？）这个概念只能用极限表示，同学！

还是“word”+截图能表达...你是初中生吧...
注意！“∞”不是数.

Answer 2

第一：二者严格相等，没有任何近似，也没有丝毫差距，一粒沙的差距都没有。
第二：确实涉及到极限这个高中概念，但与之相关的无穷的概念小学就接触到了——无限循环小数、无限不循环小数。

　　整数、除法、分数等概念的现实意义是很明显的。由整数的除法，引出【除尽】的概念；而【除不尽】的，就只能【无限】地除下去了，然后就引出【无限小数】了。
　　这就是最简单的【无限】的定义：不断重复同样的操作。
　　虽然这件事谁也做不到，但要理解它却不难。我们所关心的是要重复做的那件事——它是决定结果的关键所在。在这里，就是【除法】。

我们知道，小数在本质就是各个位上的数，加权后的和。比如：
　　56．78＝5×10＋6＋7／10＋8／100；
除法的运算过程，就是逐步得到商的每位数字。标准的除法规则，大家都知道。比如，1／9：
　　利用：10＝9×1＋1，可得：
　　　　　　　0.111…
　　　　　　　－－－－－－－
　　　　　9／1
　　　　　　 0
　　　　　　 －
　　　　　　 10
　　　　　　　 9
　　　　　　　 －
　　　　　　　 10
　　　　　　　　 …
结果就是：
　　1／9＝0．11111…
同样，利用：
　　20＝9×2＋2
　　30＝9×3＋3
可得：
　　2／9＝0．22222…
　　3／9＝0．33333…
　　…
　　8／9＝0．88888…

显然：只要我们把所有应该加到商上的数，都加上，那不管计算过程怎样，结果都不会错。
现在，我们去掉除法中的一条规则：每一步所得的余数，必须小于除数。
　　利用：90＝9×9＋9；我们可得，9／9：
　　　　　　　0.999…
　　　　　　　－－－－－－－
　　　　　9／9
　　　　　　 0
　　　　　　 －
　　　　　　 90
　　　　　　　 9
　　　　　　　 －
　　　　　　　 90
　　　　　　　　 …
即：9／9＝0．99999…
　　这个道理和1／9是一样的。你要能理解1／9，就应该能理解9／9。
　　同样地，3／3、4／4…也能得到一样的结果。
总之，1、9／9、4／4、0．999…，只是同一个数字的不同写法而已。
就像1／9和0．111…，1／3和0．333…一样。

Answer 3

1/3乘3显然还是等于1的，因为先除以三再乘一三等于什么都没做
而所谓的0.3333……（3循环）的最后一个数字3根本永远也不会出现，也就是说
这个无限循环小数是一个“没有处理完”的数字
我们现在来看一看做小数的乘法的步骤
例： 0.123456×2＝？
运算步骤是
0.123456
× 2
-----------
12
10
8
6
4
2
0.
-----------
0.246912
我们可以看出，小数的乘法是必须先从最后的一位小数开始的，否则就会有进位问题出现
当然，可能有朋友说，我能从第一位开始乘，其实这只是你以为是从第一位开始乘了而已，因为碰到了后面的进位你一样的更改前一位算出的答案，根本上还是从后面开始算的。

而1/3＝0.33333……(3循环）因为是一个“没有处理完”的数字，所以它不适用与像
0.3333……×3＝0.9999……
这样的式子。因为这个式子中0.3333……显然作为一个“处理完”的有最后一位的数字来算的。
而1/3＝0.3333……（3循环）的这个“0.3333……（3循环）”这个数字只是一个表达的方式，并不能代替1/3来进行运算。否则就会得出1/3×3＝0.33……×3＝0.9……这样荒谬的结论。

Answer 4

是等于1的。

其实，我内心还是觉得不等。

但是，事实上，0.9999...是严格等于1的。

可以反证下。

假设0.999...不等于1，那么在实数范围内，肯定存在一个大于0的数字x。等于1-0.9999....

即0.999..+x=1

如果这个方程有不为0的根，那么数轴上，一定能画出这个点在原点右侧。而实事上，画出这个点，那么0.999...总会停止循环。

（这个叙述有点不严密，但是意思就是那样的，自己再意会一下。）

Answer 5

这是一道小学奥数题,给学生们讲过多次了。

证明如下：
设①X=0.99999……，
则②10X=9.9999……，
∴②－①得：
9X=9，
∴X=1，
即0.99999……=1.

希望对你有帮助！O(∩_∩)O~