Question

极限同阶的问题，数学分析

当x趋于无穷时，函数(2+sinx)x与x是同阶的，函数(1+sinx)x与x不同阶，为什么

Answer 1

就是说x很大很大的时候，两个函数的值，在不同数量级上。同阶意思是数量级相近，不同阶就是他们数量级差距大。这样比较好理解一点。

当x趋于0的极限，两个函数趋于无穷小，同样可以用这种方式理解。

典型的是等价无穷小这个概念，就是说不但数量级相同，而且函数值还很接近。

追问

恩？啥意思？怎么看出来在不在一个数量级？可以帮忙证一下吗？

追答

这就是求极限的问题。

以无穷小为例，有：等价无穷小，同阶无穷小，高阶无穷小。

在具体的题里才能慢慢去体会。

追问

lim（（2+sinx）x/x）
=lim（2+sinx）没有极限但是局部有界,所以（2+sinx）x和x同阶无穷大,这样的话（1+sinx）x和x做比求极限也是局部有界的呀,为什么不是同阶的呢？

追答

你把你的原题及解答截图上来我看。

追问

例34 卓里奇数学分析第四版第一卷p124

追答

这个有意思哈，我琢磨下。谢谢你这个问题，呵呵！

你再从函数图像去看，当趋于无穷时，x一直增加，而x+xsinx则不断震荡，因为

其间断性的取得0值，函数图像可是连续的；而不是像（2+sinx）x，在x上震荡

但不超过某个范围。所以x+xsinx与x不同阶。

图像可以放大看。