Question

一元四次方程

x^4-8x^3+16x^2-32x+48的解为多少

Answer 1

分解因式

x^4-8x^3+16x^2-32x+48

=x^4-8x^3+12x^2+4x^2-32x+48

=x^2(x^2-8x+12)+4(x^2-8x+12)

=(x^2+4)(x^2-8x+12)

=(x^2+4)(x-2)(x-6)

实数范围内，方程有两个实根

x1=2，x2=6

如果学了复数，还有两个根！

Answer 2

答：

x^4-8x^3+16x^2-32x+48=0

(x^4-2x^3)-6(x^3-2x^2)+4(x^2-2x)-24(x-2)=0
(x-2)x^3-6(x-2)x^2+4(x-2)x-24(x-2)=0
(x-2)(x^3-6x^2+4x-24)=0
(x-2)*[(x-6)x^2+4(x-6)]=0
(x-2)(x-6)(x^2+4)=0
解得：x=2或者x=6

Answer 3

这个不是等式啊。。。咋会有解，是因式分解吗？

Answer 4

笛卡尔法：一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。
先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。
令x=y-a/4，整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 （1）
设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数，得t+m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r
设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三个方程，得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。
即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解这个方程，设kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为 （y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。

费拉里法
方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)
移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2)
两边同时加上(1/2bx)^2 ，可将（2）式左边配成完全平方，
方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2
可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4)
（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5)
这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。 解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。
以上回答你满意么？